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曲面的切平面 zhanghc3@mail.sysu.edu.cn •  主要介绍曲面的两种不同数学表示下，如何计算 切平面。 一、曲面 空间中的曲面是可以用一个三元方程表示： F (x ,y ,z ) = 0 如平面： Ax + By + Cz + D = 0 或球面： x 2 + y 2 + z 2 − R2 = 0 曲面也可以用参数方程表示： ⎧ x = x (u,v) ⎪ ⎨ y = y (u,v) ⎪ ⎪ z = z (u,v) ⎩ (u,v) ∈D 曲面的参数方程也可以看作向量函数： r(u,v) = (x (u,v),y (u,v),z (u,v)) 正则曲面 1.  参数和曲面上的点一一对应； x (u,v),y (u,v),z (u,v) 2.  均有连续偏导数； r = (x (u,v),y (u,v),z (u,v)) 3.  和 u u u u r = (x (u,v),y (u,v),z (u,v)) 不共线，即 v v v v r × r ≠ 0 u v 1 F (x ,y ) ∈C (D ) 例1. 设 ，那么函数 z = F (x ,y ) 所表示的曲面处处有切平面。 例2. 球面在如下参数表示下， ⎧ x = R sinϕ cosθ ⎪ ⎨ y = R sinϕ sinθ ⎪ ⎩ z = R cosϕ 0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ 2π 除了南北极点，处处有切平面。 二、曲面的切平面与法向量 S P 给定曲面 以及曲面上一点 ，若曲面上通过 0 P 点 的一切曲线都在同一平面上，则称此平面为 0 S P 曲面 在点 处的切平面。 0 P S P 通过 点与切平面垂直的直线称为曲面 在点 0 0 P 处的法线。改法线的方向也称为曲面 在点