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2018-01-24 发布于浙江
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高数课件2-多元函数的极值.pdf

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高数课件2-多元函数的极值

多元函数的极值 zhanghc3@mail.sysu.edu.cn 一、多元函数的极值 ● 定义. 设函数f(x,y) 在区域D 有定义，(x ,y ) 是 0 0 D 的内点. 若存在(x ,y ) 的一个邻域，使得对该 0 0 邻域的任意一点(x,y) ，都有 f (x , y ) ≤f (x 0, y 0 ) (f (x , y )≥f (x 0, y 0 )) 则称f(x ,y ) 为f(x,y) 的一个极大值（极小值） 0 0 (x ,y ) 称为极大值点（极小值点） 0 0 ● 2 2 例1. 函数 f(x,y) = (x-1) + (y-2) 在(1,2) 处取到最小值，这一点也是个极小值点。 ● 例2. 设函数f(x,y) = xy ，则点(0,0) 不是极值点。极值的必要条件 ● 定理1. 若函数f(x,y) 在 (x ,y ) 达到极值，且在 0 0 该点偏导数存在，则必有 f x x 0, y 0  =0 , f y x 0, y 0 =0 . ● 同样，偏导数都等于0 的点称为稳定点。极值的充分条件 ● 定理2 和3 设z=f(x,y) 在(x ,y ) 的一个邻域有定 0 0 义且有连续的二阶偏导数。又 f x x 0, y 0  =0 , f y x 0, y 0 =0 . 令 A = f xx  x 0, y 0  , B = f xy  x 0, y 0  , C = f yy  x 0, y 0  2 若，则当A0 时，f(x ,y ) 是极小值, B A C 0 0 当A0 时，f(x ,y ) 是极大值。 0 0 2 ● B A C 若 ,f(x ,y ) 不是极值。 0 0 2 ● 若 ,f(x ,y ) 的极值情况不确定。 B =A C 0 0 ● 2