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复合函数的微分 方向导数 zhanghc3@mail.sysu.edu.cn 一、复合函数的偏导数 ● u =  x , y  v = x , y  定理1. 设函数 与 在点(x,y) 处关于x,y 的偏导数都存在，又函数 z = f  u , v  在相应的点(u,v) 处关于u 和v 的偏导数存在且连续，则复合函数在点(x,y) 处关 于x,y 的偏导数也存在，且 ∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v = ⋅  ⋅ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ z ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v = ⋅  ⋅ ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ● 例1. z =exy sin x y  ● 例2. 求偏导数 z = f  u , v  , 其中u =x 2 y 2 , v =y x ● 例3. 设z=f(x,y) 有连续的一阶偏导数，且 x =r cos  , y =r sin  r ,  求z 关于 的偏导数，并证明 2 2 2 2 ∂ z 1 ∂ z ∂ z ∂ z    2   =    ∂ r r ∂  ∂ x ∂ y 一元函数的情况 ● 若z=f(u,v) ，而u =  x  , v = x  则复合函数 是一元函数， z = f  x  ,  x  此时有 d z ∂ z d u ∂ z d v = ⋅  ⋅ d x ∂ u d x ∂ v d x 三个中间变量的情况 ● 若z=f(u,v,w) ，而u,v,w 都是关于x,y 的