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高数课件3-隐函数的存在性及其偏导数
隐函数的存在性
及其偏导数
zhanghc3@mail.sysu.edu.cn
一、一个方程的情况
● 定理1. 设函数F(x,y) 在一点 P (x ,y ) 的邻域内
0 0 0
定义，且满足下列条件：
(1) F(x ,y ) = 0
0 0
(2)F (x,y) 和 F (x,y) 连续，且 F y x 0, y 0 ≠0
x y
x − , x
则在x 的某个邻域 内存在一个函数
0 0 0
y=f(x), 使得y =f(x ) ，且
0 0
F x , f x ≡0 , ∀ x ∈x − , x
0 0
x − , x
并且y=f(x) 在 内有连续的导函数
0 0
F x x , y
f x =−
F y x , y
定理1 的直观证明：
● 例1. 求方程 x 2 y 2
2 2 =1, a , b 0
a b
a b
在点 附近所确定的隐函数y=y(x)
2, 2
的导函数以及 y a
2
● 定理2. 设函数F(x,y,z) 在点 M (x ,y ,z ) 的某邻
0 0 0 0
域有连续的导函数，且
F x y z =0, F x y z ≠0
0, 0, 0 z 0, 0, 0
则在点(x ,y ) 的某邻域，方程F(x,y,z)=0 确定唯
0 0
一的隐函数 z=z(x,y) ，满足
F x , y , z x ,y =0,
且z(x,y) 有连续的偏导数
∂ z F x ∂ z F y
=− , =−
∂
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