非齐次方程的求解问题.pptVIP

* * §3.2 非齐次振动方程与输运方程 本节中心内容 非齐次方程转化为齐次方程的问题； 本节基本要求 掌握非齐次方程的求解方法及其物理意义 着重掌握冲量定理法的解题思路、解题步骤。 掌握求解非齐次方程的本征函数展开法 上一节研究了齐次方程的定解问题，实际物理问题中，更多的是非齐次方程的情况，为此我们这一节对非齐次方程的定解问题进行专门研究。为了方便，我们仍然限于齐次的边界条件。若为非齐次的可以齐次化。 一、两端固定弦的受迫振动问题： 由于边界条件已是齐次的， 如果能将泛定方程也化成齐次 的，便可以求解。所以用叠加 原理，令 即将 的定解问题分解为两部分之和， 分别满足： 和 从物理学的角度理解，受迫振动是由受迫力引起的振动与初始状态下引起振动的合成。其中： 为受迫振动引起的位移， 为初始条件下引起的位移。 第一组方程（关于 的方程）就是曾经讨论过的， 可以直接求解。方程二（关于 的方程）是非齐次， 但边界条件、初始条件都为齐次的。现关键是如何求解方 程二问题。 1、傅里叶级数法——本征函数展开法 对于方程二的问题，由边界条件可得： 代入方程得： 比较系数得： 其中： 两边进行拉普拉斯变换得： 利用拉普拉斯卷积定理得： 进一步求出： 2、冲量定理法 对于非齐次方程的定解问题还可以用冲量定理法，把非齐次方程转化为齐次方程解决。现介绍冲量定理法的概念。 冲量定理的物理思想：在时间0—t 内的持续作用力看成许多前后相继（无穷小时间 ）的“瞬时” 力 引起的物理过程的线性叠加。 以弦振动为例。 对于定解问题： 其中f(x,t)为t时刻作用于x处的每单位质量上的外力，叫力密度。 F(x,t)为单位长度受力，为0-t时间的持续力。 因为定解问题是线性的，满足叠加原理，所以解 是由许多瞬时力 引起的振动的叠加。 设：“瞬时”力经 的作用 ，产生冲量。瞬时力引起的振动记为： 瞬时力引起的冲量为： 因为在开始的瞬间，速度还没有形成，故第二项为零。考虑到开始作用的瞬间 时，刚形成振动速度， 第一个瞬间作用力消失，第二个还没有跟上，故泛定方程应为齐次。改写为： 从上式可以看出， 必定含有 因子，即 ，则 满足定解问题。 即： 设： 解定解问题求出： 作代换求出 物理意义：弦在瞬时力的作用下，获得速度 从时刻 时刻开始，瞬时力不再起作用， 方程转化为齐次方程。 【例题一】 【解】应用冲量定理求解 设 分离变量得 其解为： 由此得到关于 的解 代入初始条件得： 比较系数得： 二、有限长杆的导热问题（有热源的情况） 定解问题： 其中： 表示每单位长度上的热源强度。 对于持续作用的热源（0-t时刻）可以看成许多相继的“瞬时” 热源的叠加 瞬时热源表示为： 作用时间： 提供的热量： 温度分布： 定解问题转化为： 时刻以前，瞬时热源不起作用， 时刻瞬时热源起作用。瞬时热源发出的热量使 系统温度升高。 （或采用方程两边积分的形式得到该式） 时刻瞬时热源已经作用完， 定解问题转化为： 物理意义：系统在有外界热源的情况下，由于瞬时热源的作用， 系统获得初始温度 从时刻 时刻开始，瞬时热源不再起作用，方程转化为齐次方程。 例题2： 求解定解问题 解：设： *