四川大学线性代数课件四川大学线性代数课件第二章第二节行列式的性质.pptVIP

性质1 行列式与它的转置行列式相等 性质2 互换行列式的两行(列), 行列式变号 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成 比例, 则此行列式为零. 性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 如第i列的元素都是两数之和: 则D等于下列两个行列式之和: 例 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式的值不变(记作ci+kcj或ri+krj) 计算行列式的技巧和方法: 首先尽量寻找行与列的公因子, 将其提到行列式外面. 如果发现行列式有两行或者两列成比例, 则行列式的值为0. 然后利用性质6总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式, 再计算其对角线上的乘积. 应用举例 * * 证明： 则 由行列式定义 说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。 例 + 以ri表示行列式的第i行, 以ci表示行列式的第i列, 交换i,j两行记作ri?rj, 交换i,j两列记作ci ?cj. 第三行r3 第一列c1 第一行r1 第二列c2 由＋变－ 由－变＋ 证明： 设 交换s、t 两行，得 s行 t行 由行列式定义可知，D中任一项可以写成 因为 （2） （1） 显然这是 中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且 （2）式右端的n个元素是按它们在 中所处的行标为自然顺序 排好的。因此 是 中的一项。 （3） 因为，排列 与排列 的 奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明 了D的任一项的反号是 中的项，同样可以证明 中的 任一项的反号也是D中的项。 因此，D1＝－D 推论： 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。 证明： 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D＝0 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.第i行(或列)乘以k, 记作ri?k (或ci?k). k k k k 推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 第i行(或列)提出公因子k, 记作ri?k(或ci?k) = ri?k ÷2 ÷2 ÷2 ÷5 ÷5 ÷5 2 5 推论2： 行列式中有 一行（列）全为0，则行列式的值为0 推论3： det(kA)=kndetA 例 1，3两列元素成比例， 比例系数是3 = 0 = -1+0 1+2 0+1 1+2 第 j 列的各元素 k 加到第 i 列的对应元素上 证明： 作 得 例1 解 例2 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得 计算行列式的常用技巧： 如果每一列（行）的和都相同，就把后面的列（行）全加到第一列（行）上，然后将公因子提出来。 例3： 目标：把第一列化为 成三角形行列式 例4： 例5　计算 解 *