信号系统课件信号与系统教案第3章.pptVIP

* 第3-*页 第三章 离散系统的时域分析 LTI离散系统的时域分析，归结为：建立并求解线性差分方程。离散时间系统的输入输出信号关系可以用N阶差分方程描述。 引言 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 （1）掌握离散时间系统的差分方程描述； （2）掌握系统的单位序列响应； （3）掌握卷积和的概念及计算； （4）掌握零输入响应和零状态响应的求解方法。 本章教学基本要求 一、差分与差分方程 设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式： 3.1 LTI离散系统的响应 （1）一阶前向差分定义：?f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：?f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： ?[af1(k) + bf2(k)] = a ?f1(k) + b ?f2(k) （4）二阶差分定义： ?2f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k-1)] = ?f(k) – ?f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） 前向差分与后向差分的关系: ?f(k) = ?f(k－1) 因此，可定义： 3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 3.1 LTI离散系统的响应 若单输入-单输出的LTI离散时间系统的激励为f(k)， 全响应为y(k)，则描述系统激励与响应之间关系的数 学模型是n阶常系数线性差分方程： 3. 差分方程的数值解 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2kε(k)， 求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。当差分方程阶次较低时可以使用此法。 3.1 LTI离散系统的响应 二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似，差分方程的解由齐次解和特 解两部分组成。 y(k) = yh(k) + yp(k) 3.1 LTI离散系统的响应 得出方程的特解后，再根据初始条件求出齐次解中的 待定系数Ci，得到完全解。 1. 齐次解yh(k)：对应齐次方程的解 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 其特征方程为： 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ，即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 它的n个根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 当特征根λ为单根时的齐次解yh(k) ： 3.1 LTI离散系统的响应 λ1为r重根时，其余（n-r）为特征单根： 有一对共轭复根 3.1 LTI离散系统的响应 2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式有关。 激励f(k)=km (m≥0） ①所有特征根均不等于1时： yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0 ②有r重等于1的特征根时： yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0] 激励f(k)=ak ①当a不等于特征根时：