信号与系统第四章1连续信号的傅里叶级数.pptVIP

第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 周期信号的对称性与傅立叶系数 周期信号的对称性与傅立叶系数 傅立叶级数的收敛性 傅立叶级数的收敛性 有限项傅立叶级数 有限项傅立叶级数 本节小结 1、傅里叶级数的两种形式 2、傅里叶系数的奇偶性 令复数量 ，称其为复傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为 ， 则得傅里叶级数的指数形式为 复傅里叶系数 这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式。 任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相量）为 。 与 互为共轭。 与 的关系。 三角形式傅里叶级数： 可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。 想一想：本题中若把 f1(t)看成以T/2为周期，则 由于它仍是的偶函数，故 ， 令 ，则 对上式进行变量替换: （2）半波整流信号 图（b）的半波整流信号可写为（其周期 ） 它的傅里叶级数可直接由下式求出 本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分： 讨论 关于n的奇偶性。 是n的偶函数。 是n的奇函数。 是n的偶函数。 是n的奇函数。 （3）偶半波对称 偶半对称信号的第二个半周波形与第一个半周波形相同，其基波频率为2ω0，进行傅立叶级数展开时只含有偶次谐波项，所以偶半波对称信号有时称为偶谐信号。 n为偶数时 n为奇数时 n为偶数时 （4）奇半波对称 n为偶数时 n为奇数时 n为奇数时 奇半对称信号的第二个半周波形为第一个半周波的负值。进行傅立叶级数展开时只含有奇次谐波项，所以奇半波对称信号有时称为奇谐信号。 周期信号的对称性与傅立叶系数 的对称条件 展开式中的的系数特点 纵轴对称（偶函数） 原点对称（奇函数） 半周重叠（偶谐函数） 半周镜像（奇谐函数） 无偶次谐波，只有奇次谐波 无奇次谐波，只有直流偶次谐波 解: 例：有一偶函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。 f(t) 在一个周期内可写为如下形式 f(t) 是偶函数，故 周期信号的对称性与傅立叶系数 周期信号的对称性与傅立叶系数 解: 例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。 f(t) 在一个周期内可写为如下形式 f(t) 是奇函数，故 周期信号的对称性与傅立叶系数 周期信号的对称性与傅立叶系数 解: 例：有一奇谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。 f(t) 在一个周期内可写为如下形式 周期信号的对称性与傅立叶系数 周期信号的对称性与傅立叶系数 周期信号的对称性与傅立叶系数 解: 例：有一偶谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。 周期信号的对称性与傅立叶系数 周期信号的对称性与傅立叶系数 从数学上来讲，并不是任何周期信号都可以展开成傅立叶级数的。以 T 为周期的周期信号 f (t) ，在展成傅立叶级数时，必须满足下列三个条件： (1) 函数 f (t) 在一个周期内必须绝对可积，即 (2) 在一个周期内 f (t) 只有有限个极大值和极小值。 (3) 在一个周期内 f (t) 只有有限个不连续点，而且在不连续点处， f (t) 值是有限的。 上述三个条件称为狄里赫利条件。 满足狄里赫利条件的信号 f (t) ，其傅立叶级数将在所有连续点收敛于 f (t) ，而在不连续点上将收敛于的左极限和右极限的平均值。也即若在 t1 点连续，则 若 f (t) 在 t1 点处不连续，则 狄里赫利条件表明，能够用傅立叶级数表示的函数不一定都是连续函数。满足狄里赫利条件的不连续函数，在所有不连续点上，级数的总和等于左右极限和的平均值。 周期信号用傅立叶级数表示时，理论上需要无限多项才能逼近原波形。如果用有限项来逼近，则称为部分和。如果截取 －N~N 项，此时函数 f (t)用 表示，即 T=1 时，N=1,3,5 。从图中可以看出，在不连续点附近，部分和有起伏，其峰值几乎与N无关。随着N的增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对有限的N值，起伏的峰值大小保持不变而趋于一个常数，它大约 等于总跳变值的9％，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐