高等数学级数7.pptVIP

* 无穷级数 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 问题的提出 第七节 傅里叶(Fourier)级数 一、问题的提出 在自然界和人类的生产实践中, 周而复始 的现象, 周期运动是常见的. 如行星的飞转, 飞轮的旋转, 蒸气机活塞的 往复运动, 物体的振动, 声、光、电的波动等. 数学上,用周期函数来描述它们. 最简单最基本 的周期函数是 谐函数 周期 振幅 时间 角频率 初相 简谐波 简谐振动 正弦型函数 如矩形波 不同频率正弦波 除了正弦函数外, 常遇到的是非正弦周期函数, 较复杂的周期现象 逐个叠加 分解 设想 一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解 为简谐振动的迭加. 会给分析问题带来方便. 是把一个复杂的周期函数 f(t) 反映在数学上, 的迭加, 表示为各类正弦函数 谐波分析 或再利用三角恒等式, 变形为 即 三角级数 函数 f (t) 满足什么条件, 系数 才能展为 如何确定? 为简便计,先来讨论以 为周期的函数 f(x), 解决上述问题起着关键作用的是: 三角函数系的正交性(orthogonality). 三角级数? 三角函数系 二、三角函数系的正交性 的正交性是指: 其中任何两个不同的函数的乘积 在一个周期长的区间 而任 一个函数的自乘(平方)在 即有 1.傅里叶系数 利用三角函数系的正交性 两边积分 三、函数展开成傅里叶级数 利用三角函数系的正交性 利用三角函数系的正交性 傅里叶系数 由这些系数作成的三角级数 则 称为函数 f(x)(诱导出)的傅里叶级数, f(x) ? 注 f(x)的傅里叶级数不见得收敛； 即使收敛， 级数的和也不一定是 f(x). 不能无条件的 下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们. 所以, 把符号“?” 它的傅里叶级数收敛， 记为 当 f(x)满足什么条件时， 并收敛于f(x)本身? 换为“=”. 2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 狄利克雷(德)1805-1859 (收敛定理) 当x是f (x)的连续点时 当x是f (x)的间断点时 当 时 由定理可知: 在 f(x)的连续点处, 都收敛到 f(x)自身 即使有间断点,函数也有傅氏级数, 间断点上级数不收敛到函数值, 只不过在 而是收敛到 间断点处左右极限的算术平均值 即: (1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 (2) 周期函数的三角级数展开是唯一的,就是 常说把 f (x)在 上展开成傅氏级数. (3) 要注明傅氏级数的和函数与函数f (x)相等 注 幂级数的条件低得多; 其傅里叶级数, 的区域. 就是函数 在一个周期内的平均值; 周期函数的傅里叶级数解题程序: 并验证是否满足狄氏条件 (画图目的: 验证狄氏条件; 由图形写出收敛域; 易看出奇偶性可减少求系数的工作量); (2) 求出傅氏系数; (3) 写出傅氏级数, 并注明它在何处收敛于f (x). (1) 画出 f (x)的图形, 解 计算傅里叶系数 例1 将 f (x) 展开为傅里叶级数. f (x) 的图象 故 f (x)的傅里叶级数 由于f (x)满足狄利克雷充分条件, 由收敛定理得 上有定义; (3) F(x)可展为傅氏级数; 注 作 法 对于非周期函数, 如果 f (x)只在区间 上有定义, 并且满足狄氏充要条件, 也可展开成 傅氏级数. (1) f (x) 在 (周期延拓); 级数收敛于 解 例2 将函数 展开为傅氏级数. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 计算傅里叶系数 所给函数在区间 满足狄氏充要条件, 收敛于 f (x). 偶函数 奇函数 所求函数的傅氏展开式为 基本概念(三角级数、三角函数系的正交性) 函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、 傅里叶级数 、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和) 傅里叶级数的意义 —— 整体逼近 小结 特点： 问题明确， 解法固定 * *