高等数学4_1.1常数项级数.ppt

第四章 第一节 1.1 常数项级数的概念、性质与收敛原理 引例2. (神秘的康托尔尘集) 引例3. 定义1.1 例1. 讨论等比级数 例2. 判别下列级数的敛散性: 例3. 性质1.1(1) 设有两个收敛级数 性质1.2 性质1.3 注意: 性质1.4 例4.判断级数的敛散性: 例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: 定理1.1 (Cauchy审敛原理) 例6. * 目录 上页 下页 返回 结束 无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 傅氏级数 常数项级数的概念和性质 1.1 常数项级数的概念 、性质与收敛原理 1.2 正项级数的审敛准则 1.3 变号级数的审敛准则 第四章 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 把[0,1]区间三等分, 舍弃中 间的开区间 将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃 在中间的开区间, 如此反复进行这种“弃中”操作, 问丢弃部 分的总长和剩下部分的总长各是多少？ 丢弃的各开区间长依次为 故丢弃部分总长 剩余部分总长 剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”, 它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上, 人们称其为康托尔尘集. 0 1 (此式计算用到后面的例1) 小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 知 则小球运动的时间为 ( s ) 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, (此式计算用到 后面的例1) 少一半, 给定一个数列 将各项依 即 称上式为常数项无穷级数（常数项级数或级数） 其中第 n 项 叫做级数的通项（一般项）, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 当级数收敛时, 级数的和与部分和的差 称为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 2). 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, 时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 解: (1) 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 注：级数收敛,当且仅当它的部分和数列收敛．这样就将级数的收敛性问题转化为了数列的收敛性问题． 例, 调和级数 是发散的 .在第一章中已经证明过，它的部分和数列 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 但 矛盾! 所以假设不真 . 判别级数 的敛散性 . 解: 故原级数收敛 , 其和为 无穷级数的基本性质 则级数 收敛, 其和为 证: 令 则 这说明级数 也收敛, 其和为 性质1.1(2) 若级数 收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 证: 令 则 这说明 收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 性质1.1(3) 若 则 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, (1) 性质1.1(1) 表明收敛级数可逐项相加或相减 . (用反证法可证) 任意删去、增加或改变有限项, 不改变级数 的敛散性. 证: 将级数 的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 设级数 则 证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 对收敛的级数，不改变各项次序，任意加括号 后所得到的级数仍收敛且级数的和不变. 证: 设收敛级数 中任意加入括号,便得一新级数： 因此 为原级数部分和数列 从而，新级数收敛，而且有 部分和数列为 在该级数 记它的部分和序列为 , 则 的一个子列 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 但 发散. 例如， 用反证法可证 解: 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数