高等数学4_4傅里叶级数1.ppt

第四节 一、三角级数及三角函数系的正交性 定理 1. 组成三角级数的函数系 例1. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 说明: 三、正弦级数和余弦级数 例2. 设 2. 定义在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数 例3. 将函数 再求余弦级数. 四、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 定理. 说明: 例4. 把 (2) 将 五、傅里叶级数的复数形式 傅里叶级数的复数形式: 例5. 把宽为 ? ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形 内容小结 思考与练习 2. 3. 写出函数 备用题 1. 傅里叶 (1768 – 1830) 狄利克雷 (18 05 – 1859) 因此得 式的傅里叶级数 . 解: 在一个周期 它的复数形式的傅里叶系数为 内矩形波的函数表达式为 1. 周期为 2? 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注意: 若 为间断点, 则级数收敛于 2. 周期为 2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3. 在 [ 0, ? ] 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 为正弦 级数. 4. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 (x ?间断点) 其中 当f (x)为奇 函数时, (偶) (余弦) 1. 在 [ 0 , ? ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ? 答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . , 处收敛于 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 . 提示: 设周期函数在一个周期内的表达式为 傅氏级数的和函数 . 答案: 定理3 叶级数展式为 则其中系数 提示: 利用“偶倍奇零” (1993 考研) 的傅里 法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. * 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、周期函数的Fourier展开 第四章 傅里叶级数 四、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 五、Fourier级数的复数形式 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ?为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 证: 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 则称函数 f 与 g 在[a,b]上正交。 且 一般，若 设 是区间[a,b]上的一个函数列，若其中任 意两个不同的函数在[a,b]上正交，且 则称 是[a,b]上的正交函数系。 二、函数展开成傅里叶级数 1、f(x)满足什么条件时，才能展开成三角级数？ 2、如果f(x)能展开成三角级数，展开式中的 如何计算？ 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且 证: 由定理条件, ① ② 对①在 逐项积分, 得 右端级数在 上一致收敛于f，则 (利用正交性) 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 称为 的傅里叶系数 ; 称公式 ② 为Euler-Fourier公式。 ① ② 以 的傅里叶系数为系数的三角级数 的傅里叶级数 . 这些系数称为函数 三、周期函数的Fourier展开 设有函数 f ：[a,b] R.如果在[a,b]内插入n-1个分点： 能使 f 在每个开子区间 内都单调，那么就称 f 在[a,b]上分段单调。 定理3 (Dirichlet定理) 而且除有限个第一类间断点外都是连续的，则 f (x) x 为间断点 x 为连续点 注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 设 f (x) 在 上分段单调， 的傅里叶级数在 上收敛 , 且其和函数为： 定理中的条件称为狄利克雷( Dirichlet )条件。 周期延拓 定义在 上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 其它 Fourier级数展开式同F(x) 上的傅里叶级数 它在 上的表达式为 解: 先求傅里叶系数 将 f