高等弹性力学+张量.pptVIP

* * 张 量 §1 张量的定义 §3 偏导数的下标记法 §4 特殊的张量符号 1 §2 张量的求和约定 由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。力学中常用的物理量 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 ? 等。标量无下标。 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑体）、位移 、力 等。 矢量也可以用它的标量表示： x1 x2 x3 r 其中 为坐标的基方向（单位向量），r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。 §1 张量的定义 张量：有大小，并具有多重方向性的量。如应力 ?、应变?。 在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，一个含有三个与 坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 ??? 例如，对于位移分量u，v，w可以表示为u1, u2, u3，缩写记为ui，i=1, 2, 3。对于坐标x, y, z可以表示为xi。对于一个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。 ??? 例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅有六个）可以分别表示为sij和eij，其中s11, s22分别表示sx , sxy（就是txy)； e11 , e22分别表示ex, exy等。简单的定义：所谓张量就是一个物理量或几何量，它由在某些参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变化法则变换。 1 §1 张量的定义 1 同样，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示；而含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。 ??? 解析定义： 为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。在坐标系Ox1x2x3中。矢量OP的三个分量z 1， z 2， z3可以缩写作z i，同一矢量OP在新坐标系Ox1x2x3中，写作z 1， z 2， z 3，缩写为z i。设坐标系Ox1x2x3与Ox1x2x3的夹角方向余弦如下表所示 §1 张量的定义 方向余弦nij 的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为 1 或者 上式可以缩写为： 或者 §1 张量的定义 考察矢量 A(a1, a2, a3)和OP(z 1, z 2, z3) ，作它们的标量积，则： 1 显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则： 反之，如z ‘ 为已知矢量，而ai为与坐标有关的三个标量，使一次形式 在坐标变换时保持不变。根据矢量定义，则ai 也是矢量。? §1 张量的定义 推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。设(z 1, z 2, z3)和(h 1, h 2, h3)是矢量，aij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式： 1 保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合 aij为二阶张量。 aij中的每一个分量被称作张量（对于指定的坐标系）的分量。???? ??? 根据上述定义，可以推导出坐标变换时张量分量的变换规律。由题设条件，当坐标变换时，有： §1 张量的定义 代入坐标变换关系，则： 1 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 注意到： 回代可得： 上式给出了二阶张量的变换关系。以此可以作为判别一个具有两个下标的九个量 aij是否为张量。应力分量sij和应变分量eij都是满足这一变换规律的，因此，它们分别组成了二阶张量。 §2 张量的求和约定 由于张量是由许多分量所组成的有序整体，所以就有必要引入某些必不可少的约定，以简化其表达和运算形式。在张量表达式中，有大量的求和符号 ，均表示分别对i，j，k由1到3求和，例如： 1 在求和符号内，求和元素下标均出现两次。因此，对求和公式的写法进行简化。 求和约定：凡是张量表达式中，同一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和（平面问题从1到2求和）。 这种出现两次，而求和之后不再出现的下标，称为哑标。 §2 张量的求和约定 根据求和约定，张量表