西南交通大学2015有限元PPT(第一章).ppt

第1章 杆件结构 1.1 直梁 （矩阵位移法）分析步骤： Step 1、离散化 梁的特征？ 将结构自然分为三段：AB、BC、CD。每一段内部有相同的几何尺寸、无外载，可视作一个单位体（单元），各段内部特性（材料、几何）可与其他单元相互独立。 各段之间的交界截面可看作单元之间的连接节点，两端支座A、D也可以看作节点。 梁单元就转化为下图所示的计算模型。 含有3个单元，4个节点（注意要分别编号，不重复） 节点(node)：单元之间的连接，本身是虚构的，而结构是连续的，采用“结”或 “节”无实质区别。“结”强调了单元之间的连接，而“节”则有所淡化，有虚拟之意。--文人嚼字 Step 2：节点位移描述 理论力学：空间任一物体有三个方向的运动，三个方向的转动，即有6个位移量；平面上任一物体则有二个位移和一个转动。 对于平面内变形的梁，为简化起见，引入材料力学的平面假设：梁任一截面(节点)的变形只需中性面位移及其绕中性面的转角就可确定。 梁受横向载发生变形时，各截面的位移只含截面中性轴处的挠度及其截面的转角，无轴向位移。 任一节点 处的位移为 、 。 换言之，任一节点 有两个自由度。规定 向上为正， 逆时针为正。 记： 节点的位移为 ， 对应于节点位移，有相应的节点载荷，也成为广义力： 若梁离散有n个节点，则对应有2n个节点位移、载荷分量。全部节点位移记为 、全部节点载荷记为 ： Step 3：单元弹性特征 当建立了 与 的定量关系后，对于任一 就有对应的 ，则问题就可以求解。 对任一单元e，建立节点位移与截面节点力之间的关系。 e单元的节点位移 ， 单元变形时，节点 和 处应受到力的作用，有节点力 。 注意：节点力与截面载荷意义不相同！ 节点力指单元截面处的内力，为材料力学中的切向力和弯距。 节点载荷为梁结构在节点处受到的外载荷。 节点力与节点载荷的正向取为一致。 与材料力学中的符号规定有异 ： 在线性弹性，小变形条件下，存在线性关系： （1.1) (1.2) 代表了力与位移的关系，为一特定的物理意义，仿弹簧变形规律，可定义为刚度矩阵。 存在另一种表达式： （1.3) 称为柔度矩阵 本步的工作就是要给出 的具体表达式。为规范化编制程序，对梁单元的节点位移、节点力另外编号： 取单元长度，弹性模量、截面惯性矩分别讨论如下： Ⅰ 设 、 ， 其物理意义相当于悬臂梁的变形： 参考材料力学中梁的变形公式： 从（1.4）式中，可以得到一个联立方程（关于 、 ）， 联立上述二方程组求解 （注意： 与变形定义有负号之差 ） 最后求得： 由单元的力矩平衡方程： 这样，由 、其余等于0时，可以导出中 第一列的元素。 Ⅱ 设 （1弧度）， 其物理意义如下图，相当于左简支和右悬臂。同样由梁的变形及平衡方程可以得到： Ⅲ 反过来，分别设： ； ； 对应于左端固支的悬臂梁。 同样可以得出， 中的第三列、第四列元素。 最后得到具有普遍意义的单元刚度矩阵： （1.5) 回顾一下 元素的求解过程，任一元素都是在 状态下求出的， 对应于一个变形刚度。整个矩阵 的物理意义就对应为一个刚度矩阵。 ，当节点 i 取单位位移，而其他节点位移为零时，对应于节点 i 的节点力。 通常约定：单元的位移、节点力、刚度矩阵均按节点分组； 对每一节点的位移，节点力分量，再按 顺序排列。 其刚度矩阵节点子块则对应各分量排列。 Step4： 单元的组合 上