线性代数课件赵树源线性代数第13讲.pptVIP

线性代数第13讲 本讲义可在网址 或 下载 §3.4 线性方程组解的结构 对于线性方程组(3.1), 当r(A b)=r(A)=rn时, A中不为零的r阶子式所含的r个列以外的n-r个列对应的未知量称为自由未知量; 当rm时, A中不为零的r阶子式所含的r个行所对应的r个方程以外的m-r个方程是多余的, 可删去而不影响(3.1)的解.又r(A b)=r(A)=rn时, (3.1)有无穷多个解, 为什么(3.8)代表了它的全部解?下面我们来讨论与这一问题有关的方程组解的结构. (一)齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组(3.9)的矩阵形式为 Ax=o其中 (3.9)的解有下列性质:(1) 如果v1,v2是齐次线性方程组(3.9)的两个解, 则v1+v2也是它的解.证: 因为v1,v2都是方程组的解, 因此 Av1=o, Av2=o A(v1+v2)=Av1+Av2=o+o=o即v1+v2也是方程组(3.9)的解. (2) 如果v是齐次线性方程组(3.9)的解, 则cv也是它的解(c是常数).证: 由Av=o得 A(cv)=c(Av)=co=o(3) 如果v1,v2,?,vs都是齐次线性方程组(3.9)的解, 则其线性组合 c1v1+c2v2+?+csvs也是它的解. 其中c1,c2,?,cs都是任意常数. 由此可知, 如果一个齐次线性方程组有非零解, 则它就有无穷多解, 这无穷多解就构成了一个n维向量组. 如果我们能求出这个向量组的一个极大无关组, 就能用它的线性组合来表示它的全部解.定义3.9 如果v1,v2,?,vs是齐次线性方程组(3.9)的解向量组的一个极大无关组, 则称v1,v2,?,vs是方程组(3.9)的一个基础解系. 定理3.12 如果齐次线性方程组(3.9)的系数矩阵A的秩r(A)=rn, 则方程组的基础解系存在, 且每个基础解系中, 恰含有n-r个解. 证: 因为r(A)=rn, 所以对方程组(3.9)的增广矩阵(A,o)施以初等行变换, 可化为如下的形式: 即方程组(3.9)与下面的方程组同解: 可得方程组(3.9)的n-r个解. 首先证明v1,v2,?,vn-r线性无关.设 则K有n-r阶子式 其次再证明方程组(3.9)的任意一个解 所以 即v是的v1,v2,?,vn-r线性组合.所以v1,v2,?,vn-r是方程组(3.9)的一个基础解系, 因此方程组(3.9)的全部解为 c1v1+c2v2+?+cn-rvn-r (c1,c2,?,cn-r为任意常数)即(3.8).(书上第115页)定理的证明过程给我们指出了求齐次线性方程组的基础解系的方法. 例1. 求如下齐次线性方程组的一个基础解系. 即原方程组与下面方程组 例2. 用基础解系表示如下线性方程组的全部解. 即原方程组与方程组 v1,v2,v3就是所给方程组的一个基础解系. 因此, 方程组的全部解为 例3 设矩阵A=(aij)m?n, B=(bij)n?s满足AB=O, 并且r(A)=r. 试证: r(B)?n-r证: 设矩阵B=(a1,a2,?,as), 其中aj=(b1j,b2j,?,bnj)T (j=1,2,?,s)则AB=A(a1,a2,?,as)=(Aa1,Aa2,?,Aas)由AB=O可得 Aaj=o (j=1,2,?,s)考虑齐次线性方程组Ax=o, 其中 x=(x1,x2,?,xn)T不难看出, 矩阵B的列向量a1,a2,?,as都是方程组Ax=o的解向量. 因为r(A)=r, 所以方程组Ax=o的任一基础解系所含向量个数为n-r个. 由此可得 r(B)=r(a1,a2,?,as)?n-r (二) 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组(3.1)可以表示为 Ax=b取b=o, 得到的齐次线性方程组 Ax=o称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组. 非齐次线性方程组(3.1)的解与它导出组(3.9)的解之间有下列性质:(1) 如果u1是非齐次线性方程组(3.1)的一个解, v1是其导出组的一个解, 则u1+v1也是方程组(3.1)的一个解.证: 因为u1是非齐次线性方程组(3.1)的一个解, 所以有Au1=b, 同理Av1=o, 则由 A(u1+v1)=Au1+Av1=b+o=b所以u1+v1是非齐次线性方程组(3.1)的解. (2) 如果u1,u2是非齐次线性方程组的两个解, 则u1-u2是其导出组的解.证: 由Au1=b, Au2=b, 及 A(u1-u2)=Au1-Au2=b-b=o即u1-u2为导出组的解.定理3.13 如果u1是非齐次线性方程组的一个解, v是其导出组的全部解, 则u=u1+v是非齐次线性方程组的全部解. 证: