线性代数课件赵树源线性代数第16讲.pptVIP

线性代数第16讲 本讲义可在网址 或 下载 定理4.3 n阶矩阵A互不相同的特征值l1,l2,?,lm, 对应的特征向量x1,x2,?,xm线性无关.证: 用数学归纳法证明.当m=1时, 由于特征向量不为零向量, 因此定理成立.设A的m-1个互不相同的特征值l1,l2,?,lm-1, 其对应的特征向量x1,x2,?,xm-1线性无关. 现证明对m个互不相同的特征值l1,l2,?,lm-1,lm, 其对应的特征向量x1,x2,?,xm-1,xm线性无关. 设 k1x1+?+km-1xm-1+kmxm=o ①成立, 以矩阵A乘①两端, 由Axi=lixi, 整理后得 k1l1x1+?+km-1lm-1xm-1+kmlmxm=o ②由①,②二式消去xm, 得 k1(l1-lm)x1+?+km-1(lm-1-lm)xm-1=o由归纳法所设, x1,x2,?,xm-1线性无关, 于是 ki(li-lm)=0 (i=1,2,?,m-1)因li-lm?0 (i=1,2,?,m-1), 因此k1=k2=?=km-1=0, 于是化为kmxm=o, 又因xm?o, 应有km=0, 因而x1,x2,?,xm线性无关. 定理4.4 设n阶矩阵A=(aij)n?n, A的全部特征值为l1,l2,…,ln(其中可能有重根,复根), 则 证 矩阵A的特征多项式记为f(l), 则 因此, 展开式可写成 f(l)=ln-(a11+a22+…+ann)ln-1+…+cn其中cn是f(l)的常数项. 而 f(0)=|0I-A|=(-1)n|A|=cn因为A的特征值为l1,l2,…,ln, 又有 f(l)=(l-l1)(l-l2)…(l-ln)利用方程的根与系数的关系, 有 l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann;l1l2…ln=|A|即 §4.2 相似矩阵 (一) 相似矩阵及其性质定义4.3 设A,B为n阶矩阵, 如果有n阶非奇异矩阵P存在, 使得 P-1AP=B成立, 则称矩阵A与B相似, 记为A~B. 例如 所以A~B, 即 定理4.4 如果n阶矩阵A,B相似, 则它们有相同的特征值.证: 因P-1AP=B |lI-B|=|lI-P-1AP|=|P-1(lI)P-P-1AP| =|P-1(lI-A)P|=|P-1||lI-A||P| =|lI-A|得A,B有相同的特征多项式, 所以它们有相同的特征值. 如上例中 利用定义4.3, 我们可以证明相似矩阵还具有下述性质:(1) 相似矩阵有相同的秩. (请自证)(2) 相似矩阵的行列式相等.证: 设n阶矩阵A与B相似. 由定义4.3, 存在非奇异矩阵Pn?n, 使得 P-1AP=B所以 |P-1AP|=|B| |P-1||A||P|=|B|由此可得|A|=|B|. (3) 相似矩阵或都可逆或都不可逆. 当它们可逆时, 它们的逆矩阵也相似.证: 设n阶矩阵A与B相似, 由性质2知|A|=|B|, 所以|A|与|B|同时为零或不为零, 即A与B或都可逆或都不可逆.如果A~B, 且都可逆, 则存在非奇异矩阵P, 使得 P-1AP=B于是 B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1 =P-1A-1P即A-1~B-1. (二) n阶矩阵与对角矩阵相似的条件相似的矩阵具有许多共同的性质, 因此, 对于n阶矩阵A, 我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵. 在研究A的性质时, 只需先研究这一较简单矩阵的同类性质. 一般, 我们考虑n阶矩阵是否与一个对角矩阵相似的问题. 定理4.5 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 证: 必要性如果A与对角阵L相似, 则存在可逆矩阵P使 P-1AP=L设 P=(x1,x2,?,xn)由 AP=PL有 P-1AP=L P=(x1,x2,?,xn) Axi=lixi (i=1,2,?,n)因为P可逆, 有|P|?0, 所以xi (i=1,2,?,n)都是非零向量, 因而x1,x2,?,xn都是A的特征向量, 并且这n个特征向量线性无关.充分性设x1,x2,?,xn为A的n个线性无关的特征向量, 它们所对应的特征值依次为l1,l2,?,ln, 则有 Axi=lixi (i=1,2,?,n) Axi=lixi (i=1,2,?,n)令P=(x1,x2,?,xn), 因为x1,x2,?,xn线性无关, 所以P可逆. 用P-1左乘上式两端得 P-1AP=L即矩阵A与对角矩阵L相似. 推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1,l2,?,ln, 则A与对角矩阵 在§4.1求特征值及特征向量的例子中, 例1的 在§4.1求特征值及特征向量的例子中, 例1