线性代数课件第一章矩阵.pptVIP

第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 r(AB) = r(P QB) Er O O O = r(Q1) = r( QB) Er O O O = r(A). 进而有 = r( Er O O O Q1 Q2 ) = r Q1 O ? r r(AB) = r(AB)T = r(BTAT) ? r(BT) = r(B). ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 例22. 设A为s?n矩阵, 证明r(A) = 1的充要条件 是存在非零 s 维列向量 ? 和非零 n 维列 向量?, 使得A = ??T. 证明: (必要性) 若r(A) = 1, 则存在可逆矩阵P 和Q使得 A = P Q. 1 0 … 0 0 0 … 0 … … … 0 0 … 0 ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 A = P Q. 1 0 … 0 0 0 … 0 … … … 0 0 … 0 ?T = (1 0 … 0)1?nQ, 令? = P , 1 0 … 0 s?1 则可以直接验证?为非零的s维列向量, ?为非零的n维列向量, 而且A = ??T. ? 第一章 矩阵 §1.7 矩阵的秩 (充分性)若存在非零s维列向量?和非零n维列 向量?, 使得A = ??T, 则r(A) ? r(?) = 1. 设? = , a1 a2 … as ? = (b1 b2 … bn), 其中某个ai和bj非零, 则aibj为A中的非零元素, 故r(A) ? 1. 因而r(A) = 1. ? 第一章 矩阵 §1.6 方阵的行列式 解: D2n= = a . . . . . . . . . . . . a a b b 0 c c 0 d d 0 0 d . . . … . . . . . . . . . . . . 0 a a b b c 0 c c 0 d d 0 . . . … +(?1)2n+1b . . . . . . . . . . . . a 0 0 a a b c d d 0 0 d . . . … 0 b b 0 0 c c 0 … . . . . . . . . . … … ? 第一章 矩阵 §1.6 方阵的行列式 = a . . . . . . . . . . . . a a b b 0 c c 0 d d 0 0 d . . . … . . . . . . . . . . . . 0 a a b b c 0 c c 0 d d 0 . . . … +(?1)2n+1b = ad D2(n?1) ? bc D2(n?1) = (ad ? bc) D2(n?1) = (ad ? bc)2D2(n?2) = (ad ? bc)3D2(n?3) = … = (ad ? bc)n?1 D2 = (ad ? bc)n. ? 第一章 矩阵 §1.6 方阵的行列式 例15. 证明n阶级(n?2)范德蒙行列式 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n-1 a2n-1 … an n-1 = ? (ai? aj). n? i j ? 1 ? Alexandre-Théophile Vandermonde Born: 28 Feb 1735 in Paris, France Died: 1 Jan 1796 in Paris, France 第一章 矩阵 §1.6 方阵的行列式 = 1 1 1 … 1 0 a2?a1 a3?a1 … an ? a1 0 a2(a2?a1) a3(a3?a1) … an2 (an?a1) … … … … … 0 a2n-2(a2?a1) a3n-2(a3?a1) … ann-2(an?a1) ? 现设等式对于(n?1)阶范德蒙行列