线性代数课件及试题第二章矩阵及其运算.pptVIP

第二章 矩阵及其运算§1 矩阵 一、定义 由个数排成的数表：称为m和n列矩阵。 §2 矩阵的运算一、矩阵的线性运算 （一）加法 设 规定 例如 （二）数乘（数k乘矩阵A)例如当k=-1时,记(-1)A为-A,并称-A为A的负矩阵。A-B称为A与B的差，规定 (三）线性运算规律 加法 交换律 结合律 数乘 结合律 分配律 例1 已知 ，求3A﹣2B 解： 二、矩阵的乘法 设 称 为A与B的乘积，规定 例2 练习  求AB,BA； 已知解： 例3解：AB无意义；∵A的列数3 ≠ B的行数2。 例4 说明: ⑴一般情况下，AB≠BA⑵A≠0、B≠0时仍可能有AB=0或BA=0；即 由AB=0(或BA=0)推不出A=0或B=0 ⑶由AB=AC且A≠0不能推出B=C ∵AB=AC, AB﹣AC=0 ∴A(B﹣C)=0 ∴不能推出B﹣C=0即B=C ⑷特别，设A、B、C为同阶方阵，且AB=AC ⅰ.若|A|≠0，则B=C ⅱ.若|A|=0，则ⅰ的结论不成立。 （2005）一、⑵设A、B、C为同阶方阵，且AB=AC， 则当|A| 时，必有 B=C。 矩阵乘法满足:  结合律   分配律 方阵A的幂 称为方阵A的k次幂。 一般地， 例如 三、矩阵的转置 设 称为A的转置矩阵。如 运算规律： 当 即 时，称A为对称矩阵 四、方阵的行列式 设 称为方阵A的行列式. 运算规律： （A、B为同阶方阵） 五、伴随矩阵 设A为n阶方阵， 为 的元素 的代数余子式， 矩阵 称为A的伴随矩阵 （例9） 例5 ? §3 逆矩阵 一、概念 定义 设A 为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB=BA=E 则称A可逆，并称B为A的逆矩阵，记为 结论 若A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。 定理 矩阵A可逆 ,此时 推论 若 AB=E（或BA=E)，则 （或 ） 当|A|=0时，称A为奇异方阵； 当|A|≠0时，称A为非奇异方阵（可逆方阵） 二、运算规律 设A、B为同阶可逆方阵， 则 也可逆，且 定义 （k为正整数），有 三、计算逆阵的方法之一：当|A|≠0时， 例1 ？ ∴A可逆 四、逆阵的应用 例2 设 求满足AXB=C的X 解： 存在 §4 分块矩阵 一、矩阵分块法 用若干条纵线和横线，在矩阵A中把A分成许多个 低阶矩阵（称为A的子块或子矩阵），以子块为元素的 形式上的矩阵称为分块矩阵。 一个矩阵分成子块的形式可以很多，如 例1 把矩阵 写成分