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习题课之二——矩阵的运算
目的：了解矩阵的概念及其运算；了解逆矩阵的概念和性质；
会求逆矩阵和解矩阵方程
重点：矩阵的乘法；逆矩阵的概念、性质、求法；解矩阵方程。
一．矩阵的定义：
注意矩阵是矩形数表，特别是与行列式的不同之处；
二．特殊矩阵：
(1)同型矩阵；(2)零矩阵；(3)行、列矩阵；
(4)阶方阵；单位矩阵；对角矩阵；对称矩阵；
(5)线性方程组的系数矩阵和增广矩阵；
(6)伴随矩阵：，其中为的代数余子式。
方阵与它的伴随矩阵的关系：
三．矩阵的运算：
加法（减法）：强调同型矩阵才能进行加、减运算；
数乘：注意与行列式性质的区别；
乘法：(1)定义：，其中，
(2)注意：①矩阵的乘法分为左乘、右乘：、，
②不满足交换律：，
③不满足消去律：由不能推知；
4. 方阵的幂：
逆阵的幂：当时，定义，；
5. 转置：(1)定义：行、列互换的矩阵称为转置矩阵，记为；
注意转置也是一种运算。
(2)运算法则：
方阵的行列式：（1），（2），（3）。
四．逆矩阵：（注意：方阵才有逆矩阵）
1．定义：，称为的逆矩阵，记为；
2．方阵可逆的充要条件：阶方阵可逆，
阶方阵可逆的充分条件：
当时，R(A)=n，称为非奇异矩阵（可逆矩阵、满秩矩阵）
3．逆矩阵的性质；
五．矩阵方程：（1）；
六. 矩阵分块法：
1．定义；
2．分块矩阵的运算；
3．特殊分块矩阵；
4. 矩阵按行(列)分块。
（2002）一.填空题（每小题3分，共15分）
1.对于矩阵，当 时，可逆。
解：可逆，即
2.设是阶方阵，且，则 。(注:)
解：
二.判断题1.设有矩阵，且有意义，则也必定有意义。（×）
（2003）一、填空题（每题3分，共30分）
1．设矩阵，则行列式 。
解：
2．设为3阶方阵，且，则 。
解：
3．已知，若不可逆，则 。
解：不可逆，即
（2004）一、填空题（每题3分，共30分）
（1）设矩阵，则行列式 。
解：
（2）设为四阶方阵，且，则行列式 。
解：
（3）已知，则当满足 时，为可逆阵。
解：存在，即
（4）设阶方阵与可逆且满足（为与同阶的单位方阵），则 。
解:
（2005）一、填空题（每题3分，共30分）
（1）设有4阶方阵、且、，则 。
解：
（2）设、、为同阶方阵，且，则当 时，必有
解：
（4） 。（为与同阶的单位矩阵）
解：
（5）设、为3阶方阵，等价于且，则 。
解：～
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