线性代数课件及试题第三章矩阵的初等变换与线性方程组.pptVIP

第三章 矩阵的初等变换与 线性方程组 §1 矩阵的初等变换 一、矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 对调i、j两行 第i行乘数k(≠0) 第j行的k倍加到第i行上 将定义中“行”换为“列”即得矩阵的初等列变换定义。 （所用记号换成 ） 变换 的逆变换为 的逆变换为 的逆变换为 二、等价矩阵 若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵 A与B等价，记作A～B 同解方程组称为等价方程组。 等价关系具有性质： （1）反身性 A～A （2）对称性 A～B → B～A （3）传递性 A～B，B～C → A～C 任何矩阵 可经初等变换化为标准型 即 A～F 。 所有与A等价的矩阵组成的集合，称为一个等价类， A的标准型F是其中形状最简单的矩阵。 三、利用矩阵的初等行变换解线性方程组，将其 过程与线性方程组的消元、回代过程对照。 例1 求解线性方程组 由 知：(n=)4个未知数(r=)3个方程，方程组有(n-r =)1个自由未知量。取 为自由未知量，并令 （任意常数），即得方程组(1)的解：(2)称为线性方程组(1)的通解（含n－r(=1)个参数c），可表示方程组的任一解。 行阶梯形矩阵的特点：在每个非零行的第一个非零元素  下面画出一条横线（阶梯线），线的下方全为0； 左边画出一条竖线（台阶线），每段竖线的长度为 一行，非零行行数r即台阶数。如行最简形矩阵特点：非零行的第一个非零元素是1，其所 在列的其他元素都是0。如例如矩阵 都是行阶梯形矩阵， 还是行最简形矩阵。 对行最简形矩阵再施以初等列变换，化成标准形F。 例如 矩阵 称为标准形 特点：F左上角是单位矩阵E，其余元素全是零矩阵O 上例说明： §2 矩阵的秩 一、概念 定义1 任取矩阵 中k行与k列（k≤m，k≤n）交叉 处的元素，按原来的顺序构成的k阶行列式，称 为矩阵A的k阶子式。 例如 矩阵 有3个二阶子式： 6个一阶子式： 其中一阶子式D＝|1|≠0，所有二阶子式全＝0。因而把D 称为矩阵A的最高阶非零子式，其阶数1称为矩阵A的秩。 定义2 若矩阵A中不等于零的子式的最高阶数为r，  则称r为矩阵A的秩，记作 R(A)＝r. 规定 R(O)＝0 特别， n阶方阵A只有一个n 阶子式|A| ，是最高阶子式。 当|A|≠0时，R(A)＝n，故称A为满秩矩阵 （可逆矩阵、非奇异矩阵）， 此时A的标准形F=E（单位矩阵），因此A～E； 当|A|＝0时，R(A) ＜n，故称A为降秩矩阵 （不可逆矩阵、奇异矩阵）。 阶梯形矩阵的秩＝其所含非零行行数。 例如四阶子式： 二、计算方法 引理 定理 A～B → R(A)＝R(B) 矩阵A经过初等行变换化为阶梯形矩阵B， R(A)＝R(B)＝B的非零行行数r 例2 求R(A)及A的一个最高阶非零子式。 解： ∴R(A)＝3，A的最高阶非零子式为3阶。A的行阶梯形矩阵中，非零行的第一个非零元所在1、2、3行和1、2、4列，对应于A的1、2、3行和1、2、4列得A的一个三阶子式： 例3 设 求R(A)及R(B)，并讨论线性方程组 (3)的解。 解：∵ 为B的行阶梯形矩阵， 为A的行阶梯形矩阵 。 ∴ 从 可同时得到： R(A)＝2，R(B)＝3 ∵ 矩阵B的