数值仿真技术4-2015.ppt

数值模拟与仿真技术基础 能量方法及其有限元 1、能量法的基本概念: 虚功原理：线性、非线性，静或动力问题 最小势能(位能)原理：弹性小变形静力问题 2、简单问题的能量法(一维) 最小势能原理 -弹簧 -杆件 -梁的问题 3、弹性力学问题： 虚功原理(虚位移原理、虚应力原理、最小势能原理)，二维，三维问题 弹性力学基本方程:矩阵形式 弹性力学的基本方程:张量形式 最小位能原理 1、单元位移模式以及插值函数 典型的三节点三角形单元局部编号为i,j,m,逆时针为正向,对于弹性力学的平面问题,每个节点应当有两个自由度,即ui,vi,因此,每个单元的三个节点共有6个自由度,假定单元自由度的排列（按节点顺序排列）为: 根据前面有关三角形单元的插值函数分析,可以假定单元为线性位移模式 2、应变矩阵和应力矩阵 在几何方程中代入位移插值函数，有： 对于三节点的三角形单元,有: 根据方程的载荷项,可以计算几种常见的载荷. 作业 本章小结： 1、能量方法被认为是最不受限制的导出有限元格式的方法，因此，使用的范围最广，几乎所有的学科都可以应用； 2、能量方法一般以问题的能量泛函为基础，而不同学科处理实际问题的能量类型不同，例如弹性力学主要处理变形能、和各种力系的功；而流体力学涉及到运动能量、势能以及非牛顿流体的摩擦功、热量传递、弹性变形能量等等；而电磁领域除此之外，还涉及到电磁能量、热能、机械能等等； 3、因此，可以认为能量方法的应用范围最为广泛； 6、应用举例1：现有承受平面应力的等腰直角三角形板(边长a)受载如图所示,计算应力和变形. 1)、根据编号和坐标得到基本数据: xi=a,xj=0,xm=0;yi=0,yj=a,ym=0 面积:2A=a×a 得到: bi=a,ci=0;bj=0,cj=a;bm=-a,cm=-a 2)、计算应力矩阵 3)、计算刚度矩阵 4)、平衡方程以及约束处理 5)、应力分量 ui ?P 0 ?P P 注意:这里得到单元应力 工程实例2:内压厚壁圆筒 工程实例3:薄板开孔应力集中 * 第四章 工学硕士 最小势能原理： 一个物体可能出现的所有变形状态中，与满足该物体稳定平衡相应的真实形状由势能的最小值确定。 总势能一般定义为内部应变势能和外力势能的和。应变能是内力（或应力）通过结构变形（应变）做功的能力；外力势能是体积力、表面力、外加节点力通过结构变形做功的能力。 最小势能原理： 弹簧问题 线性弹簧的力与变形关系：F=kx,弹簧长度变化产生的变形能为：dU=Fdx=kxdx,所以得到： 外力所作的功一般降低势能，因此： 所以，弹簧的总势能为： 平衡状态下，势能最小。对A变分，可以得到： 即： F=kx,反映了弹簧的平衡状态。 典型弹簧单元 对于图中所示典型弹簧单元，可以得到单元的总势能： 其中，i,j分别为典型单元的节点编号，n为单元编号。 利用最小势能原理解题(不讲自己看) 如图k=1000kN/m;P=5000kN. 利用单元势能函数，建立系统势能（泛函），得到： 泛函 极值： 表达成矩阵并进行约束处理： 符号规定：正面正向为正；负面负向为正。应力向量： 弹性体的全部边界S，分成力边界S s和位移边界S u，已知边界力为 边界位移为 ij,ji；对称；kl,lk；对称；ij,kl,对称 弹性力学问题参数的矩阵表达 虚功原理叙述如下：满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零。即内力的虚功与外力的虚功之和等于零。 虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称，它们都可以被看成是某些控制微分方程的等效积分弱形式。虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效弱积分形式。虚应力原理则是几何方程和位移边界条件的等效弱积分形式。 平衡和几何方程的等效积分弱形式—虚功原理 弹性力学平面问题_能量法有限元 插值函数 或形函数 插值函数或形函数的性质: 1、节点上有： 2、单元中任一点上各插值函数之和为1 反映了单元的刚体位移 3、单元内部任一点的位移由节点位移唯一确定，公共边界上位 移是连续的 3、最小势能原理的有限元格式 假设插值函数为: 包括体积力、面积力 以及节点集中外力 4、单元刚度矩阵与单元平衡方程 单元厚度 单元面积 单元平衡方程: 5、单元等效节点载荷列阵 自重引起的节点力为单元重力的 3分之1,注意?是重度不是密