2013-2014第二学期线性代数选修试卷A.docxVIP

线性代数课程号序号：01-07开课学院：数学与数量经济学院题号一二三四五六七八九总分题分1515101010151510100得分评阅人一、填空题（每小题3分，共15分）1.设，则。2．已知线性方程组有解，则___________。3．设为阶可逆矩阵，为阶零矩阵，则 =___________。4．设3阶矩阵相似，已知的特征值为，，，则=__________。5．设矩阵，其中，，，则矩阵的秩=__________。二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设都是阶矩阵，则一定有。()．()．()．()．2.已知均为阶可逆矩阵，且，则下列结论一定成立的是。()．().().().3. 是三阶方阵，特征值为1，-2，4，则下列矩阵中，满秩矩阵是。4.设阶矩阵的秩，则。()．中必有个行向量线性无关()．的任意个行向量线性无关()．的任意个行向量线性无关()．非齐次线性方程组必有无穷多解5.设是四元非齐次线性方程组的两个不同的解向量，，则方程组的通解为。()．()．()．()．三、（10分）计算行列式。四、（10分）设矩阵满足，其中，求矩阵。五、（10分）已知，，，，，求这个向量组的秩和一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。六、（15分）讨论为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解（用导出组的基础解系表示）。七、（15分）设实对称矩阵，求一个正交矩阵和对角矩阵，使。八、（10分）设阶矩阵满足，证明相似于一个对角矩阵。一、填空题1、02、-13、4、65、1二、选择题1、C2、C3、C4、A5、A三、解：………5分=………5分四、解：,，………2分………5分………3分五、解：………5分，是一个极大无关组，，………5分六、解： (1)当时，有唯一解；………5分 (2)当时，，无解；………5分 (3)当时，，有无穷多解，特解为，导出组的基础解系为，通解为，。………5分七、解：，特征值为，………5分对应，解齐次线性方程组，得基础解系，，将其正交化，，，将其单位化，，………5分对应，解齐次线性方程组，得基础解系，将其单位化得，令，则………5分八、证：设矩阵的特征值为，则有，所以或，，，………5分 设，则的基础解系中含有个解向量， 的基础解系中含有个解向量，所以共有个线性无关的特征向量，可对角化。………5分