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图像去噪中的小波变换 摘要--我们描述两个新的近似数字实现的数学转换,即,脊波变换[2]和小波变换[6],[5]。这一实现提供精确的重建、稳定性与扰动,缓解的实现,和较低的计算复杂度。一个重要工具是近似计算傅氏域数字拉冬变换。下面将介绍一个非常简单的傅里叶空间插值，此空间在基于同心轴几何的伪极性采样集的rectopolar网格中采取笛卡儿样本和收益率样本。虽然此插值法比较粗略,但它的视觉效果非常好。脊波变换适用于拉冬变换这一特殊的过完备的小波金字塔，小波分析在频域得到很好的支持。小波变换以脊波变换为一个组件步骤,使用滤波器组的多孔小波滤波器实现了小波的部分波段。我们的理念是,转换应该是过完备的,而不是临界采样。将数字转换运用到某些标准的嵌入了白噪声的图像去噪中。在测试报告中,简单的阈值曲波系数与基于小波的“艺术状态”这一技术相比是很有优势的,包括阈值的下降或抽取小波转换,也包括树型贝叶斯后验平均方法。此外,曲波重建比小波重构表现出更高的感知质量,提供更清晰的视觉图像,特别是高质量的边缘和微弱的复苏直线和曲线特性。小波和脊波变换的现有理论表明这些新方法在特定的图像重建问题上优于小波法。本文所给出的实证结果有很好的一致性。 索引词——曲波,离散小波变换、傅立叶变换,过滤、淡水舱,拉冬转换,脊波,阈值规则,小波。 1.引言 a .小波图像去噪 在过去的十年里,已经有大量的爱好者研究信号和图像的小波去噪方法。发表在科学和工程学科的期刊中的数百篇论文中,基于小波的工具和思想被广泛地提出和研究。最初的成果包括正交小波系数阈值的缺点数据,其次是重建像这样非常简单的想法。后来发现知觉质量在本质上的改善可以通过基于阈值的方法抽取小波变换平移不变来获取。最近,“树型”小波去噪方法在图像去噪中有所突破,利用树结构的小波系数和所谓的亲子相关性存在于图像的小波系数与边缘中。同时,许多研究人员已经尝试基本方案的改变——修改阈值函数,依赖于强度阈值,阈值、自适应块阈值的选择,贝叶斯定理条件期望的非线性等等。 研究人员的大量成果已经形成一种文献体系，总体而言,通过结合序列的改进，展示了实质性的进展。 b.有前景的新方法 在本文中,我们报告的关于图像去噪的最初的努力基于一个最近推出转换家族——脊波和小波变换——已经被提议作为小波表示的图像数据替代品。接下来将被介绍的这些转换,,由于是新近的内容所以基本的理论仍待发展。 计算这些新的转换的软件仍处于成型阶段,各种权衡和选择仍在困惑中解决。 虽然我们只是完成了最初的软件开发,虽然我们在实现和微调上花费了时间和精力,与以小波实现的图像去噪的成果相比这些都是微乎其微的,我们已经为取得的成功的程度感到惊讶。我们在本文给出的新方法,在早期的发展状态,已经可以与成熟的小波图像去噪方法相媲美甚至更优于之。具体来说,在整个潜在的噪音水平范围内，我们在图像标准上表现出更高的PSNR值如芭芭拉和蕾娜。(网站上提供更多的例子。)对比中考虑了标准小波方法，如标准阈值抽取小波转换，阈值的小波变换,贝叶斯基于树的方法。 当然论证中提供了几个例子本身是很有限的,目前我们的论证与曲波去噪的发展理论是一致的,这预言了在克服了边缘效应的图像恢复中,曲波将比小波方法的重建获得显著较小的渐近均方误差。我们研究的图像尺寸较小,所以,渐近理论不会完全“启动”;不过,在这些有限的图像大小上我们已经注意到在小波去噪中的新方法得到了显著的改善。 结合本文中的实验和已研究出的理论,我们得出结论,新方法提供了一个高程度保证，有希望解决小波图像去噪的限制的问题。 c.新的转换 这些脊波和曲波变换的发展有望打破小波图像去噪固有的限制。这种限制来众所周知的事实,即二维图像的小波变换即使在合适的尺寸上也会在图像的重要边缘上表现出大的小波系数，所以,在具有大的小波系数的图像中边缘效应会大范围的出现。而这种效果是相当有趣的,它意味着为了正确地重建图像的边缘许多小波系数是需要的。这么多的系数需要估计,去噪面临一定的困难。还有,由于著名的统计学原理,简约和精度间存在一种折衷,即使处于最好的平衡状态也会导致一个相对较高的均方误差(MSE)。 虽然这种折衷是小波方法所固有的(也是傅里叶和许多其他标准方法所固有),在理论上存在更好的去噪方案来恢复光滑边缘的图像。例如,渐近参数表明,带噪声的图像处理的一定的连续介质模型与正式的噪声参数,图像恢复是光滑远离边缘,理想的MSE鳞片像而MSE可以在尺度上通过小波变换方法实现。(白噪声模型的讨论,请参阅[8],[16]）。 为了接近理想的MSE,应该研究出新的理论,仅使用几个非零系数就可以准确地代表平滑函数,也可以准确地展现图像的边缘。然后,因为光滑部分或边缘部分只需要少量的系数,这对于简洁度和精度间的折衷是很有利的，也会产生较低的MSE结果。研