用树形结合“相遇”问题.docVIP

用数形结合解“相遇”问题 杨红芳 有些多次“相遇”的问题用纯代数的方法很难求解，此时如能借助图形，利用图象，直观分析，一定会事半功倍。下面三例将能让你体会到数与形结合解决问题的优美与简洁。 例1. 阅读下列材料： “父亲和儿子同时出去晨练。如图1所示，实线表示父亲离家的路程y（米）与时间x（分钟）的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y（米）与时间x（分钟）的函数图象。由图象可知，他们在出发10分钟时第一次相遇，此时离家400米；晨练了30分钟，他们同时到家。”根据阅读材料给你的启示，解答下列问题： 图1 一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100千米/时和20千米/时，巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计）。 （1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？ （2）出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？ 解：（1）由题意画出图象，如图2所示。所以货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇4次。 图2 （2）结合图象可以求出直线OC的解析式为。 直线EF的解析式为。 由 解得： 答：出发小时巡逻艇与货轮第三次相遇，这时离A港口千米。 例2. 两游泳者在长90米的游泳池的对边同时开始游泳，一人以3米/秒，另一人以2米/秒的速度行进，他们来回游了12分钟，若不计转向时的时间，则他们相遇的次数是多少？ 解：建立如图3所示的直角坐标系，其中，实线和虚线分别表示速度为3米/秒和2米/秒的游泳者所游的距离（相对于2米/秒的游泳者开始时所在岸边）与时间的图象。 图3 从图象可以看出，每180秒两者又回到开始时的位置，途中共相遇5次，这样12分钟共相遇20次。 例3. 已知AB两地相距300千米，现有甲、乙两车同时从A地开往B地，甲地匀速行驶2小时到达AB中点C地，停留2小时后，再匀速行驶1.5小时到达B地；乙车始终以v千米/时（）的速度行驶。 （1）设s（千米）、t（小时）分别表示甲车离开A地的路程和时间，试在下列条件下： （1）； （2）； （3）， 分别求出s与t的关系式，并画出它们的图象； （2）若甲、乙两车在途中恰好相遇两次（不含A、B两地），试确定v的取值范围。 解：（1）由题意可知： 甲车由A地到C地的速度是75千米/时，由C地到B的速度是100千米/时， 所以当时，； 当； 它们的图象如图4所示： 图4 （2）要使甲、乙两车在途中恰好相遇两次，结合图象可以看出表示甲、乙两车的路程随时间变化的图象要有两个交点（起点除外），则乙车到达B地的时间多于甲车到达B地的时间，且乙车到达中点C地的时间小于4小时，所以乙车的速度v必须满足： 即 （即v所对应的直线夹在虚线之间）。