第一讲 函数、极限与连续PPT.ppt

例1.13 求 例1.14 (A) 无穷小量; (B) 无穷大量; (C) 有界量非无穷小量; (D)无界但非无穷大量。 例1.15 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D)4 例1.16 (6)利用洛比达法则及泰勒公式求未定式的极限 罗比达法则：七种未定式极限 罗比达法则： 具有皮亚诺余项的马克劳林公式： 设f(x)在U(0)内有n阶导数，则 常用二阶马克劳林公式： 牢记几个函数展开式： (9)利用级数的收敛性证明数列的极限为零.（数一、数三） 这里需要指出的是题型与方法并不具有确定关系，一种题型可以有几种方法计算法，一种方法也可以用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。 4. 由于函数连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数间断点类型等问题本质上仍然是求极限，因此这部分也是重点。 (7)利用定积分求某些和式极限 (8)利用导数定义 * 注：函数的两要素——定义域和对应法则 一 、主要内容 第一讲 函数、极限与连续 （一）函数 2. 几种特性 1. 定义 (1)有界性 设函数f(x)在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于任意x∈X，都有 |f(x)|≦M (2)单调性 成立，称y=f(x)在X上有界。否则，称f(x)在X上无界，即对任意M0，总存在x0∈X，使|f(x0)|M. (3)奇偶性 (4)周期性 3. 复合函数、反函数、隐函数与分段函数 (1)基本初等函数与初等函数 基本初等函数 初等函数 常数函数；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数。 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到且能用一个解析式表示的函数。 (2)复合函数 20对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些基本初等函数复合而成的 注：10注意复合的条件。 (3)反函数 (4)隐函数 注：10反函数存在的条件 设有方程F(x, y)=0，若当x在某区间内取任一值，总有满足该方程唯一的值y存在时，称由方程F(x, y)=0在上述区间内确定了一个隐函数y=y(x). (5)分段函数 若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应规律的 20 x=f-1(y)和y=f-1(x)都是y=f(x)的反函数 注 在函数这一部分内，重点是复合函数分段函数以及函数记号运算。 4. 举例 【注解】因为 无论x为何值时， 。因此 【注解】 选择填空题方法一是“排除法” 由于f(x)中含有因式lnx，而该函数既是非奇非偶函数，又是非周期函数，因此可以将(A)、(C)选项排除。 又因为函数f(x)中的tanx，有 函数f(x)不具有单调性， 故排除(D)选项。 因此，只有(B)选项正确，即函数为无界函数。 方法二：“直接验证法”。因为 因此函数为无界函数，故选择(B) 【注解】 因为对任意 有 因此函数f(x)一定是周期函数，故选项(C)正确！ 本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的性质，又要能正确的求出各种极限。 （二）极限 1. 概念 注 把数列{xn}看成整数函数xn=f(n) (n=1, 2, …),则数列极限的概念便是f(x)在x→+∞时极限的特殊情况。 2. 极限性质 (1) 唯一性 在自变量的一个变化过程中，函数的极限存在，则此极限唯一。 (2) 有界性 若 （或 ），则存在x0 的去心邻域（或|x|M0），f(x)在此邻域（或|x|M0）内有界. (3) 保号性 若 ，若在x0的去心邻 域（或|x|M0）内恒有f(x)g(x)(或f(x)≦g(x))，则a≦b. 3. 求极限的方法 (1)利用极限四则运算法则及函数的连续性 求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： 极限四则运算法则 函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内连续。 (2)利用两个重要极限，两个重要极限即 (3)利用等价无穷小代换（常会使运算简化） 无穷小性质及运算 10 有限个无穷小的和仍为无穷小 20 有限个无穷小之积仍为无穷小 30 有界量与无穷小的乘积亦为无穷小 无穷小比较： ～ 牢记几组公式： ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 等价无穷小代换可以化简极限计算 要灵活地记，要记本质！ 等价无穷小代换定理 注1：在求极限过程中，当一个无穷小量与整个函数相乘（除）时，这个无穷小量一定