多元函数的极值1.pptVIP

主讲教师：黄小平 一、复习引入 二、二元函数极值的定义 三、二元函数取得极值的条件 四、二元函数极值的求法 五、本节小结 1、复习回顾 o a b x1 x2 x3 x4 x5 y=f (x) x y 2、问题的提出 求最大收益即为求二元函数的最大值。 每天的总收益为：? 这个函数常称为目标函数。 某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖 y美分，则每天可卖出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 问题：如何求二元函数的最大值和最小值呢？ 二、二元函数极值的定义 观察： 观察二元函数 的图形 　二元函数极值的定义 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对 于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y): 如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极大值； 如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极小值。 极大值、极小值统称为极值。 使得函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点。 例1 函数 处有极小值． 在 x z y 0 例２ 函数 处有极大值． 在 处有极大值． 在 x y z O 例３ 处无极值． 在 函数 x z y 0 问题： 回顾一元函数极值的知识可知，如果函数f(x)在x0处取得极值，且导数存在，那么必有f`(x0)=0. 如果(x0,y0)为二元函数f(x，y)的极值点，且在此处导数存在，那么会有什么结果呢？ 二、多元函数取得极值的条件 定理 1 （必要条件） 设函数 在点 具有偏导数，且 在点 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： ， . 推广 如果三元函数 在点 有极值的必要条件 具有偏导数，则它在 ， . ; 是： 仿照一元函数，凡使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 驻点 极值点 注意： . 例如 点 是函数 的驻点， 但不是极值点 定理 2 （充分条件） 设函数 在点 的某邻域内有连续的 二阶偏导数，且 是函数 的驻点.令 （ 1 ） 时具有极值，且 当 时有极大值， 当 时有极小值； （ 2） 时没有极值； 则： （ 3） 时可能有极值 , 也可能没有极值， 还需另作讨论． 求函数 ) , ( y x f z = 极值的一般步骤： 第一步 解方程组 求出实数解，得驻点 . 第二步 对于每一个驻点 ) , ( 0 0 y x ， 求出二阶偏导数的值 A 、 B 、 C . 第三步 定出 2 B AC - 的符号，再判定是否是极值 . 四、二元函数极值的求法 例4 求函数f (x，y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的极值． 求得驻点为(1，0)、(1，2)、(?3，0)、(?3，2)． 再求出二阶偏导数 fxx(x，y)?6x?6，fxy(x，y)?0，fyy(x，y)??6y?6． 在点(1，0)处，AC?B 2?12·60，又A0，所以函数的(1，0) 处有极小值f(1，0)??5； 在点(1，2)处，AC?B 2?12·(?6)0，所以f (1，2)不是极值； 在点(?3，0)处，AC?B 2??12·60，所以f (?3，0)不是极值； 在点(?3，2)处，AC?B 2??12·(?6)0，又A0，所以函数的 (?3，2)处有极大值f(?3，2)?31． 解方程组 解 五、本节小结 1、本节学习了多元函数极值的定义，注意极值仅是函数的局部特性。 2、多元函数取得极值的必要条件和充分条件。 驻点 极值点 只有当AC- 0时驻点才是极值点。 极值点 驻点 偏导存在 3、有可能偏导不存在也是极值点，例如函数 在（0，0）点处有极大值，但函数在（0，0）点偏导不存在。 因此，在求函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑．