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20080605高一数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
* 2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角 2.4 平面向量的数量积 问题提出 1.向量a与b的数量积的含义是什么? a·b=|a||b|cosθ. 其中θ为向量a与b的夹角 2.向量的数量积具有哪些运算性质? (1)a⊥b a·b=0(a≠0,b≠0); (2)a2=︱a︱2; (3)a·b=b·a; (4)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (5)(a+b)·c=a·c+b·c; (6)︱a·b︱≤︱a︱︱b︱. 3.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便.若已知向量a与b的坐标,则其数量积是唯一确定的,因此,如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题. 探究(一):平面向量数量积的坐标表示 思考1:设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a与b用i、j分别如何表示? a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 思考2:对于上述向量i、j,则i2,j2,i·j分别等于什么? i2=1,j2=1,i·j=0. 思考3:根据数量积的运算性质,a·b等于什么? 思考4:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗? a·b=x1x2+y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 思考5:如何利用数量积的坐标表示证明(a+b)·c=a·c+b·c? 探究(二):向量的模和夹角的坐标表示 思考1:设向量a=(x,y),利用数量积的坐标表示,︱a︱等于什么? 思考2:如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),那么向量a的坐标如何表示?︱a︱等于什么? ︱a︱ a=(x2-x1,y2-y1); ︱a︱= 思考3:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a⊥b,则x1,y1,x2,y2之间的关系如何?反之成立吗? 思考4:设a、b是两个非零向量,其夹角为θ,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么cosθ如何用坐标表示? a⊥b x1x2+y1y2=0. 例1 已知向量a=(4,3),b=(-1,2), 求: (1) a·b; (2) (a+2b)·(a-b); (3) |a|2-4a·b. 理论迁移 (1) 2;(2)17;(3)-3. 例2 已知点A(1,2),B(2,3), C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给 出证明. △ABC是直角三角形 例3 已知向量a=(5,-7),b= (-6,-4),求向量a 与b的夹角θ(精确到1°). cosθ≈-0.03,θ≈92°. 例4 已知向量a=(λ,-2),b=(-3,5),若向量a 与b的夹角为钝角,求λ的取值范围. 例5 已知b=(1,1),a·b=3, |a-b|=2,求|a|. 小结作业 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角(钝角),则a·b>0(<0),反之不成立. 1.a∥b a⊥b 二者有着本质区别. 3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系,解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题,可以考虑用向量方法来解决. 作业: P107练习:1,2. P108习题2.4A组:9,10,11.
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