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妙趣横生的二项式系数 人教版高中数学第二册（下B）中，第十章《§10.4 二项式定理》是高中数学的必学内容，教材多次改编，都没有删改，原因是这部分知识应用广泛，而且还将许多数学知识有机地联系在一起。在此我将把二项式定理中二项式系数自身的关系及与其它知识的关系展示给读者或同仁，并与你们一起分享二项式系数的乐趣。 观赏和“品味”有规律的二项式系数表： 当n = 1，2，3，4，5，6，7，……时，展开式的二项式系数如下表所示： n依次取值 二项式系数表 二项式系数的组合数表 …………… 1 1 ………………………… ………… 1 2 1 …………………… 厖? 1 3 3 1 厖厖厖? … 厖 1 4 6 4 1 厖厖 系 ? 1 5 10 10 5 1 厖? 系 ? 1 6 15 20 15 6 1 厖 ? 7 21 35 35 21 7 1 ? …… …… …… 通过观赏和“品味”上面“风景”，看到了什么风景？品到了什么“知”味？不妨我把我知道的东西告诉你，好吗？同时，也希望你把我没有知道的东西补充完善，以并供同仁共享！ 二项式系数的性质： （1）对称性：①从图表可看出：二项式系数表构成一个等腰“梯形”，同一行的二项式系数关于等腰“梯形”上、下底“中点”连线这条高对称。 ②从二项式系数的组合数表可看出：二项式系数是对称的，即与两端等“距离”的项的二项式系数相等，且满足，这正是组合数的性质1之所在。 ③从函数的角度也可以得到：构造函数（r = 0,1,2,3,…），显然函数的图象（是一些孤立的点），关于直线对称，图略。 增减性与最大值： ① 从二项式系数表中可以看出：两端最小且都是1，越靠近中间越大，当为偶数时，中间的一项取得最大值；当为奇数时，中间的两项、相等、且同时取得最大值。 ② 从函数的单调性也可以得到：因为 –= – =– = （– 1） 所以函数的增减性由– 1的符号决定。由 – 1 0 可知，当 时，二项式系数逐渐增大，当 时，二项式系数逐渐减小。当为偶数时，中间的一项取得最大值；当为奇数时，中间的两项、相等、且同时取得最大值。 二项式系数的和及相关二项式系数的关系： ① 从二项式系数表中可知： ② 在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 ， 上述两条性质的证明，见人教版高中数学第二册（下B）中　P112页，此处从略。 ③ 上、下两行的二项式系数的关系：下一行的不是1的二项式系数是上一行中在“肩”上的两个二项式系数的和，即 ，它正是组合数的性质2。 ④ 自下而上的各二项式系数的关系：自下而上的各二项式系数形成“树状”数，它正是组合数的性质2的延续。真是无限风光在险峰！如下图所示： 　　　…　　　　　 　　　　　　　　　　 …　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　…　　　　… 　　　　　　　　　　 即 = 二项式定理及二项式系数的和的应用： 求某些指定项的二项式系数的和： 例如：求下列各式的和 ① ② 解：略。 二项展开式的变式应用： 例如：1 = （2-1）=…（按二项式展开） …（按二项式展开） 在数与数或式与式的整除中的应用： 例如：[证明] 1、 能被1000整除； 2、 能被整除。 证明：（用二项式定理证明）较简单，此处从略。 （4）在概率论中的应用：如二项分布、n重贝努里概型。 细心的读者或同仁，或许你还发现了它的更有趣的性质，不妨把它奉献出来，供数学爱好者共享！ [注]本文由贵州省印江二中教师任达茂独创于200