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华师版九上《23.1 圆的认识》 同步辅导 课前感知 学辅导引 1.与圆有关的区分： 本节与圆有关的概念较多，而且它们之间混淆，因此应多进行比较，才能搞它们之间的区别与联系。如直径和弦――直径是弦，是通过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径；又如，同圆、等圆和同心圆――同圆是指同一个圆，等圆、同心圆是指两个圆的位置关系，前者半径相等，后者是圆心相同；等弧和长度相等的弧――等弧不能说是长度相等的弧，而是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，弧有两个相等：长度相等、度数相等；弧和半圆――半圆是弧，是圆中特殊的弧，但弧不一定是半圆，弧分为劣弧、半圆和弧。 2.从特殊到一般的转化思想： 从本节开始进入初中几何学习的最后阶段，这部分内容所涉及的图形很多都是圆和直线的组合，解决问题时要加强分析，树立已知与未知，简单与复杂，特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，学会把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的思考方法，例如在探究圆周角与圆心角的关系时，可以先从最简单的特殊情况入手――圆心在角的一边上，再研究一般情况：圆心在角的内部和圆心在角的外部，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是探究的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线，这种分类讨论、转化以及同特殊到一般的思想方法，应当引起同学们的注意并力求掌握。 感悟探讨 1.在同圆、等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系： 圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形生命，这一性质具体体现在圆心角、弧、弦之间的相等关系上： （1）在一个圆中，如果圆心角相等，那么所对的弧相等，所对的弦相等； （2）在一个圆中，弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。 （3）在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，圆心角反对的弧相等。 上面三条性质可以合起来说成：在一个圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，当然，这个性质也可以推广到等圆中，但要特别注意的是，上述性质的前提条件都是在同圆或等圆中，如果把这个条件去掉，则它们就未必正确，比如在不等的两个圆中， 如23.1－1所示， 在以O为圆心的 两个同心圆中， 大圆的两条半径 OA，OB分别交 小圆于C，D，虽 ∠AOB＝∠COD，但 ∵AB≠CD，∴ = 。 2.由a,d,r,h中的任意两个求其他两个： 圆不仅是中心对称图形，而且是轴对称图形，但它又不同于一般的轴对称图形，它有无数条对称轴，经过圆心的每一第直线都是它的对称轴，这一性质体现在圆在下列性质上：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。该性质是说明线段相等、弧相等、角相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据。另外应明确在圆中解决有 关弦的问题 时，常常需 作出圆心到 弦的垂线段 （即弦心距） 这一辅助线， 该性质与勾股定理结合起来，得到圆的半径r、弦第a、弦心距d及弓形高h四者之间的关系，如图23.1－2所示，可由a,d,r,h中的任意两个求其他两个，请你想一想，这是为什么？ (二)探究学习 技能训练 求与圆有关的角的度数 如图，23.1-3， A，B，C，D 是⊙O上的四点， 且∠BCD＝1000， 求∠BOD和 ∠BAD的大小。 我的思路： 思路探讨：∠BOD是圆心角，∠BAD圆周角，并且它们所对的弧都是同一条弧，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可以知道∠BAD＝1/2∠BOD，因此如果先求出这两个角中的任意一个角的度数，另外一个角就求了，根据已知条件∠BCD＝1000，再结合圆周角与圆心角的关系知：∠BCD所对的弧为　　　，　　所对的圆周角∠BOD（大于平角）应等于2000，从而∠BOD等于3600－2000＝1600。 求弦长 如图23.1-4， 已知在⊙O 中， 直径 AB为10 cm,弦AC 为6 cm， ∠ACB的 平分线交 ⊙O于 D，求BC，AD和BD的和长。 我的思路： 思路探讨：欲求BC的长，应建立未知与已知之间的关系，BC，AC和AB在同一个三角形ABC中，三角形ABC是特殊三角形吗？根据直径所对的圆对的圆周角是直角，由AB是直径，得∠ACB=900,AD,BD和AB同样也处在一个直角三角形中，只知道一条斜边AB的长还不足以求出别处两条直角边的长，必须再一个条件才行，由∠ACD=∠DCB，得弧AD等于弧BD，继而得AD=BD，从而得△ADB是等腰直角三角形，下面就不难求出AD和BD的长了。 能力提高： 找圆心 现有一个圆形工件 (如图23.1-5)，但 不知道它的圆心在 哪里，你有办法找出 这个圆的圆心吗？ 我的思路： 思路探讨：我们知道，