整体性原则在解题中的应用.docVIP

整体性原则在解题中的应用 吴坚 “设而不求”的解题方法是整体性原则在解题策略中的一个应用。在解题过程中为了解题的需要，间接设一些参数，但在解题时并不直接求这些参数，而只是将含参数的表达式进行整体代换或根据其它性质直接得到答案，通过非常规的解法，化繁为简，化难为易迅速求解。其常见的类型有： 一、整体判断 例1：过圆O: x2+y2=R2外一点P(a,b)到这个圆的两条切线，求经过两个切点的直线方程 解：设两切点为A(x1,y1),B(x2,y2) 若PA不与坐标轴平行,因为PA为圆的切线,则PA所在直线方程为:x1x+y1y=R2 又P在直线上，所以ax1+by1=R2 ( 1) 若PA与坐标轴平行，显然(1)式也成立. 同理 ax2+by2=R2 （2） 因为点p(a,b)在圆O外，所以a,b不同时为零，且x1,x2,y1,y2均为实数。这意味着点A,B在直线ax+by=R2上。 故经过两个切点的直线方程为ax+by=R2 此例题在解题过程中设了A,B两点的坐标共有4个参数，但它们不是最终所求的目标，所以不必去求它们。只须根据曲线与方程的对应关系，由含参数的方程（1）（2）可知，x1,y1与x2，y2分别是方程ax+by=R2的两组解。即点A(x1,y1)与B(x2,y2)是直线上的点，因而可直接判断出直线AB满足的方程。 二、整体代换 求值运算是数学一种常见的运算。在运算的过程中若能根据已知灵活地进行整体赋值将可大大减化运算量，整体代入是常用运算技巧。 例2（1989广东高考题）已知i是虚数单位，复数z和ω满足zω+2iz-2iω+1=0且|z|=。 求证：|ω-4i|的值是一个常数，并求这个常数。 证明：∵z(ω+2i)=2iω-1,∴z=。 ∵|z|=||=,∴|2iω-1|=|ω+2i|。ω=x+yi(x,y∈R),则 |ω+2i|=|x+(y+2)i|==, |2iω-1|=|2xi-(2y+1)|= ∴=·, 解得x2+y2-8y=11 ∴|ω-4i|=|x+yi-4i|===3。 故 |ω-4i|是一个常数，这个常数是3。 此例在解题过程中设了x,y两个参数，但并未直接求出x,y的值，只求出“x2+y2-8y=11”，然后“整体代入”求出值。 三、整体转化 若常规解题思路感到烦琐时，不妨另辟途径，思路上“整体转化”，通过等价性质来解决问题。 例3（1992年高考题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12,S120,S130. （1）求公差d的取值范围； （2）指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大，并说明理由。 分析：若建立关于n的目标函数，用配方法求最值十分麻烦。若直接借助等差数列前n项和的性质进行整体转化，可简化解题过程。 解：（1）由已知可解得：-d-3 （2）由d0知，a1a2a3…a12a13。 因此据S120及S130可知：在1≤n≤12中存在自然数n，使得an0及an+10,则Sn就是S1,S2,…S12中的最大值。 由于S12==6(a1+a12)0 S13==13a70, 可知a6+a70且a70,由此a6-a70。 从而据a60,a70,可知S1,S2,…S12中S6的值最大。 四、整体换元 “整体换元”实质上就是换元法。 例4（1992年“三南”高考题）求同时满足以下条件的所有复数z。 (1)z+是实数且1z+≤6; (2)z的实部与虚部都是整数。 分析：此题常规解法是设z=x+yi,再利用虚数相等的性质，化虚为实，运算量很大。若整体换元，则可化繁为简。 解：设z+=m,则1m≤6,有z2-mz+10=0 这是关于z 的实系数二次方程，判别式Δ=m2-400, ∴z= ∵是整数，且1m≤6,∴m=2,m=4,m=6。 若m=2时，z=1±3i;若m=4时，z的虚部不为整数，舍去；若m=6时，z=3±i。 故所求的复数是1±3i或3±i。 五、整体处理 例5（1990年高考题）设a≥0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a。 分析：此题若设z=x+yi或z=r(cosθ+isinθ),代入方程后由复数相等的定义去解，则须要进行多层次的讨论，若对z进行整体处理，则容易许多。 解：∵|z|∈R，由已知得z2=a-2|z|∈R, ∴z为实数或纯虚数。 ①若z为实数，则|z|2+2|z|-a=0， 解得|z|==-1±(负值舍去）， ∴z=±(-1+)(a≥0)。 ②若z为纯虚数，设z=±yi(y0),则y2-2y+a=0, ∴y=1+或y=1-(0a≤1)。 ∴z=±(1+)i或z=±(1-)i (0a≤1)。 综上所述，原方程的解为：z=±(-1+)(a≥0)或z=±(1+)i(