用基点法求平面图形内各点的加速度.docVIP

第二节 平面图形上各点的速度分析 一、基点法 由上一节分析可知，平面图形在其自身平面内的运动可分解为两个运动：（1）牵连运动，即随同基点A的平动；（2）相对运动，即绕基点A的转动。于是，平面图形内任一点B的速度可用速度合成定理来求得，这种方法称为基点法。 因为牵连运动是平动，所以点B的牵连速度等于基点A的速度，如图15-7所示。又因为点B的相对运动是以点A为圆心的圆周运动，所以点B的相对速度就是平面图形绕点A转动时点B的速度，用表示，它垂直于AB且与图形的转动方向一致，大小为，式中是平面图形角速度的绝对值（以下同）。由速度合成定理可得B点的速度为 （15-2） 由此可得出结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点相对转动速度的矢量和。必须注意的是位于速度平行四边形的对角线上。 基点法公式（15-2）中包含三个矢量，共有大小、方向六个要素，其中总是垂直于AB，于是，只需知道任何其他三个要素，便可作出速度平行四边形，求出其他两个未知量。 总是垂直于AB两点的连线，也就是说它在AB两点连线上的投影恒等于零，将矢量方程（15-2）向AB连线上投影可得 （15-3） 上式称为速度投影定理，即刚体上任意两点的速度在其连线方向上的投影相等。此定理的几何意义可参考图15-7加以理解，它说明了图形上两点在其连线方向没有相对速度，这反映了刚体上两点距离不变的物理本质。该定理不仅适用于刚体平面运动，也适用于其它任何形式的刚体运动。 若已知刚体上一点速度的大小和方向，又知道另一点速度的方向，在不知道两点间距离及刚体转动角速度的情况下，应用速度投影定理可方便地求出该点速度的大小。 下面通过实例说明基点法与速度投影定理的应用。 例15-1 曲柄连杆机构如图15-8a所示，OA=r，AB=。如曲柄OA以匀角速度转动，求当=60°、0°和90°时点B的速度。 图15-8 解：连杆AB作平面运动，以点A为基点，点B的速度为 其中，方向与OA垂直，沿OB方向，垂直于AB。上式中四个要素已知，可作出速度平行四边形。 当=60°时，由于AB=，OA恰与AB垂直，作出速度平行四边形如图15-8a所示，由几何关系可得 当=0°时。与均垂直于OB，也垂直于，按速度平行四边形法则，应有，如图15-8b所示。 当=90°时，与的方向一致，而又垂直于AB，其速度平行四边形退化成一直线段，如图15-8c所示，显然有 此时。杆AB的角速度为零，A、B两点的速度大小、方向都相同，连杆AB具有平动刚体的某些特征。但杆AB只在此瞬时有，其它时刻则不然，因此称此时连杆AB的运动为瞬时平动。 用速度投影定理也很容易求出B点的速度。 当=60°时，方向与AB一致，方向与AB成30°夹角，由速度投影定理有，即可得到。 当=0°时。垂直于AB，沿AB方向，由速度投影定理可得。 当=90°时，与的方向一致，均为水平方向，与直线AB具有相同的夹角，所以。 例15-2 图15-9所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行星轮Ⅱ在系杆OA带动下沿轮Ⅰ只滚动而不滑动，轮Ⅱ半径为r2。系杆OA角速度为。试求轮Ⅱ的角速度及其上B、C两点的速度。 解：行星轮Ⅱ作平面运动，其上A点的速度与系杆OA上A点的速度一致 方向如图。 以A为基点，轮Ⅱ上与轮Ⅰ接触的点D的速度应为 由于齿轮Ⅰ固定不动，接触点D不滑动，显然，因而大小为，方向与相反，如图所示。为点D绕基点A的转动速度，应有，由此可得 为逆时针转向，如图所示。 以A为基点，点B的速度为 而，方向与垂直，如图所示。因此与的夹角为45°，指向如图，大小为 以A为基点，点C的速度为 而，方向与一致，所以 由于B、C两点速度的方向不是很明确，所以，此题不宜用速度投影定理求B、C两点的速度。 例15-3 图15-10所示的平面机构中，曲柄OA=100mm，以角速度=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB。图示位置时A、B、E三点恰在同一水平线上，且CD⊥ED。试求此瞬时点E的速度。 解：此机构中共有5个可动构件，OA、CD作定轴转动，AB、DE及轮E作平面运动。用基点法可求出E点的速度，但求解过程较为繁琐，而用速度投影定理求解此题较为方便。 由速度投影定理，杆AB上点A、B的速度在AB上投影相等，即 可解得 摇杆CD绕点C转动，有 轮E沿水平面滚动，轮心E的速度沿水平方向，由速度投影定理，D、E两点的速度关系为，可解得：，方向如图所示。 二、瞬心法 研究平面图形上各点的速度，还可以采用瞬心法，其求解过程更为直观、方便。 设有一个平面图形S，如图15-11所示。取图形上的点A为基点，其速度为，图形的角速度为，图形上任意一点M的速度可表示为 如果点M在的垂线A