小区绿地喷浇节水模式测算(5doc).docVIP

小区绿地喷浇的节水模式测算* 本文研究公共绿地喷浇的节水模型。通过建立优化的数学模型，在喷浇方式可变的条件下，分别给出了绿地为正六边形、正多边形和矩形区域的最小覆盖率，对物业进行公共绿地的喷浇的节水模式进行探讨。 §1 引言 在我国，现在有很多小区都面临着严重的缺水问题，2003年干旱情况尤为严重。目前京津翼地区的水资源总量仅占全国的1%，人均地表水资源占有量不足250立方米，仅相当于全国的1/8和世界平均的1/32，远低于国际公认的1000立方米的水资源紧缺的标准[1]。 小区公共绿地的浇灌是一个长期大量的用水项目。随着现代小区人们生活质量的提高，美化小区和建设绿色家园的需要，小区绿化带正在扩大，用水量随之不断增大。因此,小区绿化用水的节约是一个十分重要的问题。目前，对于绿地的浇灌用水主要有移动水车浇灌和安装固定喷水龙头旋转喷浇两种方式。移动水车主要用于道路两侧狭长绿地的浇灌，固定喷水龙头主要用于公园，小区，广场等观赏性绿地。观赏性绿地的草根很短，根系寻水性能差，不能蓄水，因此，喷水龙头的喷浇区域要保证对绿地的全面覆盖。根据观察，绿地喷水龙头分布和喷射半径的设定具有较大的随意性[1]。那么，对于任意的绿地, 喷浇龙头到底以什么方案设置才能最节约用水呢？对此，我们[1]提出了绿地喷浇设施的节水构想§2 优化模型问题 我们作如下基本假设：1)公共绿地为平面上有规则的区域，它可划分为一些多边形区域。2)绿地下的喷水管道可以任意设置，从而可以在绿地内可任意设喷水龙头。3)喷水龙头可以对喷射半径以内的绿地进行均匀喷浇。4)喷水龙头还可以根据均匀喷浇的实际需要进行设计。5)用于喷浇绿地的水压是稳定的。 由假设，可设置许多个喷水龙头使得公共绿地的区域被喷出的水所覆盖。根据微积分中熟知的有限覆盖定理，必然存在最小的覆盖，这样就为节约用水而建立优化模型提供了理论依据。然而，我们更需要的是对实际问题有具体指导的结论。我们现在需要解决的问题就是：既要使绿地全部被均匀地浇到，又要达到节约水资源的目的；而只有在被重复浇到的绿地面积达到最小时，才能使喷浇节约用水。我们假设在绿地区内可以放置 n个龙头，每个龙头最大的喷射半径为。记绿地区域的面积为，第i个龙头的喷射半径为，喷射角度为，它所形成的区域为，则绿地的受水面积(实际上的圆覆盖)为，从而得到如下的优化模型问题： (1) 为了简化问题，更能表达“覆盖”的含义，我们以()代替我们[1,2]中的来作为有效覆盖率来刻画模型的优劣。越接近1，模型就越好，用水也就越节约。 以下我们将针对不同几何形状绿地区域的覆盖进行讨论，从而得到它们的有效覆盖率。 §3 模型的应用与求解分析 3.1绿地为正方形区域时的最优覆盖率 如图1所示，我们假设绿地区域是边长为2a的正方形。先以正方形中心为圆心，R为半径作圆，我们称之为大圆。再分别以四个顶点为圆心，r为半径，作等半径的四分之一圆，我们称之为小圆[2]。我们的目标是使受水面积与绿地面积的比值达到最小。因此，可选择适当的半径R与r，使大圆与小圆面积之和达到最小。这样我们得到优化模型： 目标函数：，约束条件：。 这相当于一个二元函数求条件极值的问题，我们有：,。此时，目标函数达到最小值。于是，我们计算出最小的有效圆覆盖率为： (2) 由于绿地平面可被全等的正方形所覆盖，故在广阔区域的绿地上，喷水龙头可按照交错方式分布(如图2所示)，这时最小有效覆盖率可达1.178。 3.2 绿地为等腰三角形区域的最优覆盖率 如图3所示，我们设绿地区域为等腰三角形ABC，其中AB=AC，分别过顶点A、B、C作圆。显然，最优覆盖必须使三个圆交于一点，而且该点在底边BC的中垂线AD上，设AD=d，BC=2C ，圆A的半径为 r，圆B、C的半径为R。要使得在有效覆盖率最大的情况下整个三角形区域都被覆盖，必须使在三角形中的三个扇形面积之和最小，从而得到优化模型[2]： 我们有最小的有效覆盖率为： (3) 下面我们进一步分析(3)。因为，所以我们对上式作恒等变形后，得到： 又因故根据罗尔定理，函数在区间内取得最小值。 当时，得在区间内有唯一驻点即，因此有 (4) 式(4)表明，在允许使用不同半径的圆的情况下，1.196为其下界，这就说明可以根据三角形顶角的角度确定不同半径的圆覆盖方式大大优于使用单一的圆覆盖方式。 3.3 绿地为正多边形区域的最优覆盖率 我们以边长为的正六边形为例来求最优覆盖率. 我们先考虑一种与正方形绿地喷浇相似地布局方式.如图4所示，我们先以正六边形中心为圆心，R为半径作圆，我们称之为大圆.再分别以六个顶点为圆心，r为半