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《复变函数与积分变换》教学大纲 Complex Analysis and Integral Transforms 课程编号:070A1040 试用专业:理工科各专业 学时:39—42 学分: 2 一、内容简介： 复变函数与积分变换是工科院校机电工程类各专业的基础课程，本课程主要讨论复变函数和积分变换。内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，共形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。 二、本课程的目的和任务 本课程为工科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理讨论好线性系统作出必要的数学准备。 三、本课程与其他课程的关系 学生必须首先学习过《高等数学》课程，才能进入本课程的学习。本课程的后续课程是专业课或专业基础课，如《线性系统理论》及信号处理分析类课程，以及凡是用到拉普拉斯变换的各类工科课程。 四、本课程的基本要求 由于《复分析》的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。 在工科各类专业中开设复变函数与积分变换，是为适应诸多专业的应用的。如自动化或自动控制专业，要应用拉普拉斯变换于线性系统的理论分析，又如凡涉及信号处理的各类专业，要用复函的方法分析传递函数理论，计算机专业中各类网络中的信息压缩理论，其中的主要方法富氏变换压缩、小波数据压缩及分形压缩，前二者都必须以复变函数为基础，同样的情况又出现在各类信号处理中的时--频域分析方法中。而对电磁类专业，力学及材料力学，热传导学中的平面问题的分析，也是主要用复变函数理论。 因此学生必须熟练掌握 （1）复变解析函数理论 （2）复变函数的积分理论及留数理论 （3）拉氏变换与富氏变换理论。 学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论。 学生还应理解调和函数理论。 学生还应初步了解共形映射的理论。 五、课程内容及学时分配 ● 理论教学内容 复数与复变函数(4学时) 熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算；熟悉复平面、模与辐角的概念，熟练掌握复数的各种表示法；了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念。熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；理解复变函数以及映射的概念，了解复变函数与而二元实函数的关系；了解复变函数的极限与连续的概念、性质，熟悉复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系。 本章的重点：复数的运算及各种表示法；复变函数以及映射的概念。 解析函数(4学时) 理解复变函数的导数以及解析函数的概念，掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初等函数，了解它们的主要性质。 本章的重点：解析函数的概念；函数解析性的判别。 复积分理论(6学时) 了解复积分定义，掌握复积分计算的一般方法；理解柯西-古萨定理，了解变上限函数的性质，复不定积分与原函数的概念，牛顿莱不尼茨公式。掌握复合闭路原理，熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解平面调和函数理论，掌握共轭调和函数的求法。 本章的重点：复积分的基本定理；柯西积分公式及高阶导数公式。 第四章 复变函数的级数理论(4学时) 了解复数列的极限概念，熟悉复数列收敛的充分必要条件；了解级数理论、级数的性质，理解阿贝尔定理，掌握收敛半径的求法；理解泰勒展开定理，熟练掌握的泰勒展开式，掌握函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数。掌握罗朗级数的概念、性质，理解罗朗展开定理，能比较熟练地把一些解析函数在不同的圆环域内展开成罗朗级数。 本章的重点：函数展开成泰勒级数与罗朗级数。 第五章 留数(6学时) 理解孤立奇点的概念及其分类，掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征，熟悉零点与极点的关系。理解留数的概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法。掌握利用留数定理计算闭路积分的方法，熟练掌握应用留数计算、及型积分 。了解应用留数定理计算实积分的围道积分法。 本章的重点：留数计算与留数定理。 §5-2 实积分的计算 *§5-3 辐角原理与在稳定性理论中的应用 这两章是复变函数理论中的特色内容,重点要掌握罗朗级数展开及留数的计算 *第六章 共形映射 §6-1 共形映射的特性 §6-2 分式线性映射 §6-3 几个初等函数所构成的映射 本章给出共形映射理论及应用 *第七章 富里叶变换(4学时) 了解周期函数的傅里叶级数极其复数形式，熟悉富氏积分定理，理解傅氏变换及其逆