线性变换的基本性质一些重要的线性变换对单位正方形区域的作用 .pptVIP

* 引入定义 1.设向量 = ,规定实数λ与 向量 的乘积λ = ; 2.设向量 = , = ,规定 向量 与 的和 = . 思考 作图说明数乘平面向量的几何意义? 作图说明平面向量加法的几何意义? 线性变换的基本性质 一些重要的线性变换对单位正方形区域的作用 知识与能力 过程与方法 情感态度和价值观 通过大量具体的矩阵对平面上给定图形的（如正方形）的变换,认识到矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影 加深学生对线性变换及其基本性质理解 教学重难点 线性变换的基本性质及其几何意义 矩阵对几种特殊线性变换的表示 重点 难点 探究1 O y x O y x 设向量 = .如下图,把向量 先伸长2 倍再按逆时针方向旋转90°;把向量 先按逆时针方向旋转90°再伸长2倍.这两个过程结果相同么? ∵这个旋转变换的矩阵为A= ∵2 = ∴A(2 )= = 2A =2 = ∴A(2 )=2A . 举一反三 一般地,设A是一个二阶矩阵, 是平面上的任意一个向量,λ是任意实数,则A(λ )=λA . 探究2 设向量 = , = .如图,先利用平 面四边形法则求 ,再对向量( )进行关于x轴的反射变换;或者,先对向量 , 做关于x轴的反射变换,再利用平行四边形法则求反射变换的两个向量的和.这两个过程的结果相同么? O y x O y x 关于x轴的反射变换的矩阵A= . ∵ = ∴A( )= A +A = A +A = + ∴A( )= = 举一反三 一般地,设A是一个二阶矩阵, , 是平面上的任两个向量,A( )= A +A . 性质1 设A是一个二阶矩阵, , 是平面上的任意两个向量,λ是任意实数,则 (1) A(λ )=λA ; (2) A( )= A +A . 定理1 设A是一个二阶矩阵, , 是平面上的任意两个向量,λ1,λ2是任意实数, 则A(λ1 + λ2 )= λ1 A + λ2 A . 证明:由性质1得 A(λ1 + λ2 )= A(λ1 )+ A(λ2 ) =λ1 A + λ2 A . 探究3 旋转变换R30°: = 把直线y=kx+b(其中k,b均为常数)变成了什么图形? 答案:直线 探究4 切变变换：σ： = 把直线 (其中k,b均为常数）变成了什么图形? 答案：点( ,0 ) ∵ ∴ ∵ ∴ 性质2 二阶矩阵对应的线性变换把平面上的直线变成直线(或一点). y O x P2 P P1 由定理1,直线l在线性变换 =A 的作用下变成 （其中λ1,λ2是实数,且λ1 +λ2=1） 重要线性变换对单位正方形区域的作用 1.恒等变换 【平面图形(单位正方形)在线性变换的作用下会变成什么图形？】 定义: 把平面上任意一点变成它本身的变换. 恒等变换I 对应的矩阵为E2= 变换公式: ∵E2 = = ， E2 = = . O y x 1 1 O y x 1 1 解这类题型的一般步骤: 1.写出变换所对应的矩阵A; 2.写出坐标变换公式; 3.求出A ,A ,即得到单位正方形区域两条邻边的新位置.作图表示 1.旋转变换R30° 2. 切变变换（平行与x轴、y轴） 3.反射变换（ 关于x轴、y轴） 4.投影变换（ 关于x轴、y轴） 关于x轴的切变变换所对应的矩阵为A= k为非零常数,随着k 的变化,所对应的图形也变化. *