泰勒公式及其应用(数学考研).doc

第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数在点处可微，则有： 这样当时可得近似公式 或 ， 即在点附近，可以用一个的线形函数（一次多项式）去逼近函数，但这时有两个问题没有解决： （1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数． （2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量，如果要求误差不得超过，用去替代行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数． 在下面这一节我们就来设法解决这两个问题． 2.1　Taylor公式 的次多项式在附近去逼近，即令 （2.1） 从几何上看，这表示不满足在附近用一条直线（曲线在点的切线）去替代，而是想用一条次抛物线去替代它． 我们猜想在点附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数，…如何确定呢？ 假设本身就是一个次多项式，显然，要用一个次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有 于是得： 求一次导数可得： 又求一次导数可得： 这样进行下去可得： ，，… ， 因此当是一个次多项式时，它就可以表成： （2.2） 即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数，只要它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数 ，称为泰勒系数．因而次多项式的次泰勒多项式就是它本身． 2.2 Taylor公式的各种余项 对于一般的函数，其次多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点附近能近似地用它在点的次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的定理就是回答这个问题的． 定理1 (带拉格朗日型余项的公式) 假设函数在上存在直至阶的连续导函数，则对任一,泰勒公式的余项为 其中为与间的一个值.即有 (2.3) 推论1 当，（2.3）式即为拉格朗日中值公式： 所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2 在定理1中,若令 则称为一般形式的余项公式, 其中．在上式中，即为拉格朗日型余项．若令，则得 , 此式称为柯西余项公式． 当，得到泰勒公式： ， （2.4） 则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式． 定理２ （带皮亚诺型的余项的公式） 若函数在点处存在直至阶导数，则有 ， ． 则当时，．即有 （2.5） 定理3所证的（2.5）公式称为函数在点处的泰勒公式，， 称为泰勒公式的余项的，形如的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式 当（2.5）式中时，可得到 （2.6） （2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用． 由于，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍． 定理３ 设，函数在内具有阶连续导数，且，在内的泰勒公式为 （2.7） 则． 证明：在内的带皮亚诺型余项的泰勒公式： 将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出 ， 从而 ， 令，得 ， 故． 由上面的证明我们可以看得出，当趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好． 第3章 泰勒公式的应用 由于泰勒公式涉及到的是某一定点及处函数及阶导数值：，，…，，以及用这些值表示动点处的函数值，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用． 3.1 应用Taylor公式证明等式 例3.1.1 设在上三次可导，试证： ，使得 证明： (利用待定系数法) 设为使下列式子成立的实数： （3.1） 这时，我们的问题归为证明：，使得： 令，则． 根据罗尔定理，，使得，即： 这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式： 其中，比较可得原命题成立． 例3.1.2 设在上有二阶导数，试证：，使得 ． （3.2） 证明：记，则在处泰勒公式展开式为： （3.3） 对（3.3）式两端同时取上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：，使得 因此原命题式成立． 因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也