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* * §3开集,闭集和完备集 1.开集,闭集、完备集的定义及运算 2.直线上开集,闭集与完备集的构造 一.开集,闭集、完备集的定义及运算 定义1 设 ，E中每个点都是E的内点， 则称E为开集. 由开集、闭集的定义可知： 2.开集、闭集的表示 例1 分析：先证Eo为开集 证明：只要证 任取　 由内点的定义知 任取 ，取 从而y为E的内点，从而 所以x为Eo的内点，即 开 闭 证明：只要证 任取 由聚点的定义知 E 闭 ⑵开集与闭集的对偶性 定理2：若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec 为开集。 证明：设E为开集，要证Ec为闭集，即证： 由聚点的定义知 闭集的余集是开集 证明：设E为闭集，即 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点， 从而x为E的聚点，由Ｅ为闭集可知x在E内， 这与　 矛盾， 所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。 ⑶开集的性质 a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。 注：无限多个开集的交 不一定为开集，如：En=(1-1/n,1+1/n) A B ⑷闭集的性质 a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。 若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集 注：无限多个闭集的并不一定为闭集， 如：En=[-1+1/n,2-1/n] 例2 例3 §4直线上开集、闭集和完备集的构造 一、直线上开集的构造 1.构成区间 2.直线上开集的构造 定理1： 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限 个或可数个互不相交的构成区间的并。 ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( )( ) ( ) ( 证明：分三部分 设G是直线上的开集 (1)G中每一点必含在某一个构成区间中. （2）开集G的任何两个不同的构成区间必互不相交. （3）构成区间的并. 二、直线上闭集的构造 定理2 直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去 有限个或可数个互不相交的开区间所得之集. 三、直线上完备集的构造 定理3 直线上的完备集F是从一闭区间[a,b]上去掉， 有限个或可数个彼此没有公共端点且与原来的闭区间也没有公共端点开区间而成，这些开区间的端点都属于F的. 下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集——Cantor(三分)集. §5 康托三分集 一、Cantor三分集的定义 如图 它是22 个两两互不相交的闭区间的并. 这样的过程一直做 下去, [0,1]中余下的点组成的集合称为康托三分集，记为P. 记 C 0 =[0,1]. 将C0 三等分, 去掉中间的一个开区间 将剩下的部分记为C1 , 即 它是两个互不相交的闭区间的并. 将C1 的每个闭区间都三等分. 再去掉每个闭区间中间的开区间 将剩下的部分记为C2 二、Cantor三分集的性质 因为每次去掉的开区间 的端点都属于P,所以P非空. 去掉的所有开区间 所组成的集合记为G,显然G为开集， 称为Cantor余集. 由Cantor集的构造可知其性质： 事实上从[0,1]中第n次去掉2n?1个长度为 的开区间. (1) 从[0,1]中去掉的那些开区间的长度之和为1. 因此去掉的那些开区间的长度之和 (2)Cantor 集是完备集. 无论去掉开区间的过程进行多少次，P的点必属于每次去掉开区间后留下来的某个闭区间.并且每次去掉开区间后,其端点都属于P. 证明： 由Cantor 集的定义知，去掉的所有开区间组成的集合G是 开集.因此： 再证Cantor 集是自密集. (3)Cantor 集是不可数集. (4)Cantor 集没有内点. 正因为Cantor 集所具备的性质，因此它对数学其他分支起着非常大的影响.比如《数学的分形与应用》、《泛函》等. Koch曲线的维数 是log4 / log3 面积有限但边 界线无限长 (4/3)n的极限 （20世纪上半世纪）有限维 到 无限维 (泛函分析) （20世纪下半世纪）有限维 到 分数维 (分形几何) * *