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第一节 外测度 函数论的中心内容是建立一种 新的积分-Lebesgue积分 ，由于建立新积分的需要，我们要讨论Rn中点集的度量性质，也就是把R1中区间的长度， R2中面积以及R3中体积概念推广到一般的Rn的点集，来建立Lebesgue测度理论 .为此，先复习区间的概念. 下确界： 次可数可加性 例1 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集， 例2 例3：Cantor集的外测度为0。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 故 证明：若 可测，则对任意 推论1： 若 都是可测集，则 也是可测集。 推论2 如果 是可测集，且当所有 互不相交时，有 在不等式（3）中取 ，则得 即 证明：由于 ，由定理2知 每个 可测，由定理4知 可测，所以 可测。证毕。 * * 第三章 测度理论 1.复习 开区间、闭区间、半开半闭区间通称为区间,记作：I. 一.外测度的定义 一.外测度的定义 在R1中体积就是区间的长度， 在 中，开矩形 的面积为 在 中，开长方体 的体积为 很自然地， 我们也称 中的开集 为开长方体，并定义其体积为 定义1 设 是 的点集， 是 中的一列开区间， 则 确定一个非负的数 （或 ） 称 为 的Lebesgue外测度。 Lebesgue外测度(外包) 记 即：用一开区间列 “近似”替换集合E 性质1 性质2 若 ， 则 单调性 性质3 性质1是显而易见的。如果注意到当 则由外测度定义很容易得到 。 事实上， 盖住 的开区间序列的全体比盖住 的开区间序列全体更多。 下证性质3 时，凡是能盖住 的开区间序列一定也能盖住 ， B 证明：对任意的ε0,由外测度的定义知，对每个An都有 一列开区间（即用一开区间{I nm}列近似替换An） 由ε的任意性，即得 注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立. 问题：Riemann积分具有有限可加性，两个互不相交的集合之并的外测度是否为这两个集合的外测度之和？ 注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立. 再由ε的任意性知 ( ) 证明参见教材p-59 此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广. 对任意区间 ，有 证明：令第n次等分后留下的闭区间为 第二节 可测集合 一、可测集的定义 定义2 假设 如果对任意集合 都有 则称 为Lebesgue可测集，此时 称为 的Lebesgue测度，简记为 E Ec T∩E T∩Ec 注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集， 但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。 等式（1）称为Caratheodory条件. 例：零测集E必为可测集 即E为可测集。 二、Lebesgue可测集的性质 令 定理1集合E可测（即 ） 事实上,若(1)成立,则对任意 反之，若（2）成立，则对任意 取 E Ec A B 定理2 设 则 可测当且仅当 可测； 定理3 若 可测，则下列集合都可测。 下面证明若A,B 可测，则 可测. 也可测。 因 可测已证明，则易知 说明：两个可测集类关于并，交，余，差运算封闭。 定理3 若 可测，则下列集合都可测。 说明：可测集类关于有限交和有限并的运算封闭。 证明： 由于 与 都可测，且互不相交，故由 知 由归纳法知 定理4 证明： 假如 是任意集合，只要证 注意对任意正整数 ，有 所以 是可测集。 令 得 若 Si两