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第一节 外、内测度 可测集 1.引言 测度 思考：设E为[0,1]中的有理数全体，求E的测度(“长度”) 思考：设E为[0,1]中的有理数全体，求E的测度(“长度”) 思考：设E为[0,1]中的有理数全体，求E的测度(“长度”) 证明：由于E为可列集， 2.有界开集的测度 3.有界闭集的测度 例1. 求Cantor集的测度 即有： mG=1, mP0=0 4. 开集测度的性质 证明.（outline） 证明.（outline） 5 Lebesgue外(内)测度 6. Lebesgue外测度的性质 例：Cantor集的外测度为0。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 * * 第二章 测度理论 其中 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi Riemann积分回顾（分割定义域） 1. 区间上的测度=“长度” (mE表示区间E的测度) 2. 测度公理 (以[0,1]为基本集) 用黎曼积分： 对区间[0,1]进行分割： 0=x0x1x2……xn=1 当max(xi-xi-1)--0时, 与E有公共点的区间的长度和即为E的长度, 则显然有mE=1. 同理，对[0,1]中的无理数点集，也可求得其测度为1. 注: 这显然和m[0,1]=1相矛盾了 用测度公理： 注意到有理数集E是可列的，因此有 E={x1,x2,……xn,……} 依常识单点集{xk}的“长度”为0，因此按照测度公理有 mE=m{x1}+m{x2}+……=0 再由ε的任意性知mE=0 ( ) 定义： 设G为非空有界开集，则G有结构表示： 我们定义开集G的测度为它的一切构成区间长度的和，即 注: 由于G有界，故mG与级数项的顺序无关 定义： 设F为非空有界闭集，任取一个包含F的开区间(a,b), 令G=(a,b)-F, 则G为开集. 我们定义闭集F的测度为 注: F的测度与任取的区间(a,b)无关. 对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集 n 2 1 留下的闭区间 去掉的开区间 第n次 ⑴定义：令 称P0=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集 注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间 b. P0的“长度”为0，去掉的区间长度和 定理: (1) 设G1,G2 是两个有界开集，且G1包含于G2，则有mG1≤mG2 (单调性) (2) 设有界开集G是有限个或可列个开集G1,G2，…… 的并，则有mG≤∑mGk (半可加性) 如果Gk之间互不相交，则mG=∑mGk (完全可加) 引理2.1 仅证n=2时. 根据对闭集的测度的定义 mFk=βk-αk-m(Fk的补集) 而且m(F1∪F2)=β2-α1-m(F1∪F2的补集) 接下去如何找关系？ 定理2.2 要利用前面的引理. 设G的构造区间为(ak,bk),k=1,2,…. 根据有限覆盖定理， 令Fk=F∩(ak,bk),则Fk为含在互不相交的开集中的闭集 推论 为E的Lebesgue外测度。 定义：设E为有界集，一切包含E的开集的测度的下确界，即 为E的Lebesgue内测度。 定义：设E为有界集，所有含于E中的闭集的测度的上确界，即 （b）单调性： （a）非负性： ， 当E为空集时， 证明：令第n次等分后留下的闭区间为 * * *