同济大学高数课件ch2_3.ppt

* 第三节 隐函数的导数和 由参数方程确定的函数的导数 一、隐函数的导数 本节要点 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 表达式确定一个唯一的因变量 y 的取值． 一、隐函数的导数 隐函数的概念 　所谓函数 表示的是两个变量 x 和 y 之间的关 例如 都反映了这种对应关系． 的特点是: 对自变量 x 的每一个取值，都可以通过某一 系．这种对应关系可以用一个较为明确的关系式来表示, 达的函数称为显函数． 这类关系 用这种方式表 来确定．通过方程可以确定 x 和 y 的对应关系，但这个 在区间 上确定了一个函数； 当限定 ，在区间 内确定了一个函数． 　但是，这种对应关系还经常通过一个方程 关系有时候不能象显函数那样用一个显式方程来表示． 例如方程 　又如方程 在某些情况下，隐函数能转化成显函数， 　但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数． 所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式． 我们把这一类函数称为隐函数. 一个方程，相应的函数关系可转化成 如方程 例如上面第 例 对给定的方程 , 在什么条件可以确定隐 函数 ，并且 y 关于 x 可导， 中将会讨论． 在隐函数情况下，如何求出隐函数的导数. 这个问题在下册 在这里通过具体的例子来说明在已知存 　例1 求由方程 所确定的隐函数 　解 方程两边对 x 求导，并注意到 y 是 x 的函数，利 即有 从而得 的导数 用复合函数的求导法则，有 数 y 的导数. 　例2 求由方程 所确定的隐函 　解 方程两边对 x 求导，得 因 ，所以 ，即有 　解 方程两边对 x 求导，得 将 代入上式，解得 故切线方程为 点的切线方程． 　例3 求由方程 确定的曲线在 以建立 y 与 x 的对应关系: 二、由参数方程确定的函数的导数 在平面解析几何中, 我们学习了用参数来表示曲线, 表示的中心在原点、半径为 的圆. 通过消去参数 可 如果 例如，参数方程 或 如果 一般地，若参数方程 确定变量 y 与 x 之间的函数关系，则称此函数为由参数 在上式中，若函数 在某个定义区间上具有单 方程所确定的函数. 调、连续的反函数 ， 则此反函数与 构成的复合函数就是参数方程所确定的函数，即 再由复合函数的求导法则，得 注意：这里的导数一般情况下，仍然可能是用参数来 表示． 故切线方程为 即 　解 当 时，曲线上相应的点的坐标为 ， 线方程. 在 处所对应的切线和法 例4 求曲线 在相应的点的切线斜率为 曲线 法线方程为 即 　例5 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为 其中 分别是抛射体初速度的水平、铅直分量(见下 图)， g 是重力加速度, x 与 y 分 别是抛射体在铅直平面上的位 置的横坐标和纵坐标. 求抛射 体在时刻 t 时的运动速度 　解 先求速度的大小. 速度的水平分量和与铅直分量 分别为 因此，抛射体运动速度的大小为 再求速度的方向，即轨迹的切线方向. 设 是倾角， 则由导数的几何意义，有 *