合工大 数字信号处理第二章.ppt

得：X(z)=3z-1+18z-2+81z-3+… =3z-1+2×32×z-2+3×33×z-3+… ∴ x(n)=n3nu(n-1) 比较： 首先，围线积分法、部分分式法和长除法均可以用来计算z的反变换。围线积分法虽然概念清晰，但计算复杂，所以并不常用；相比之下，部分分式法计算起来就容易许多，但前提是X(z)是一个较容易被因式分解的有理分式；长除法大多用在工程实践中，当X(z)很难被因式分解，且工程不要求反变换的结果很精确或能用解析式表示时，则通常选择长除法。 * 第四节 Z变换的基本性质和定理 1、线性：(满足比例性和可加性) 若：Z[x(n)]=X(z) Rx-|z|Rx+ Z[y(n)]=Y(z) Ry-|z|Ry+ 则：Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z) R-|z|R+ 其中，a、b为任意常数，R-=max(Rx-,Ry-)，R+=min(Rx+,Ry+) 注意：如果这些线性组合中某些零点和极点互相抵消，则 收敛域可能会扩大，而不是缩小。 * 例：已知x(n)=cos(?0n)u(n)，求它的z变换。 收敛域|z|1 * 2、序列移位：(讨论序列移位后的z变换与原序列z变换的关系) 若：Z[x(n)]=X(z) Rx-|z|Rx+ 则：Z[x(n-m)]= z-mX(z) Rx-|z|R+ 证明： Z的收敛域通常是不变的，但也可能有例外。 * 例： 例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 说明：序列u(n)和u(n-3)z变换的收敛域应该是|z|1，而 u(n)-u(n-3)的收敛域为|z|≠0，很明显，收敛域扩大了。 这是因为u(n)和u(n-3)是单边序列，而u(n)-u(n-3) 是有限长序列。 * 3、乘以指数序列：(z域尺度变换) * 4、序列的线性加权：(z域求导数) 对两边求导数： (z-n)′ = -nz-n-1 = -z-1nz-n * 引申： * 5、共轭序列： 设一个复序列的共轭序列为：x*(n) * 6、反褶序列： * 7、序列的卷积和： 设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和： 若有： 则： 说明： Y(z)的收敛域理论上是X(z)和H(z)的重叠部分，但若在收敛域边界上一个z变换的零点与另一个z变换的极点抵消的话，则收敛域可能会扩大。 * 证明： Z变换的移位特性 * 例：设x(n)=anu(n)，h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)，求：x(n)*h(n) 解： 我们发现，在|z|=|a|处，X(z)的极点与H(z)的零点抵消，若|b||a|收敛域扩大。 * 第五节 序列的傅立叶变换 1、概念： 一个离散时间(非周期)信号及其频谱的关系，可以用序列的傅立叶变换来表示。 离散时间信号（Discrete Time Signal） 正变换： （正变换可由z变换得来，它是z变换在单位圆上的特例） 反变换： * 2、几点说明： (1) 正变换的收敛条件为： 说明：若序列x(n)绝对可和，则它的傅立叶变换一定存 在且连续。 (2) X(ej?)的特性： 由于时域上x(n)的离散，使得频域上的X(ej?)出现周期的特性，周期为2?。 * 3、正、反变换的由来： (1) 正变换：可由z变换定义得到。 (2) 反变换：若序列的z变换在单位圆上收敛时： * 4、序列傅立叶变换的性质： 由于序列的傅立叶变换是z变换在单位圆上的特例，所以它也具有z变换的性质。 另外，它也具有傅立叶变换的一些对称性质，这对于简化运算及求解很有帮助。 请参阅书P35表2.2.1 * 5、序列傅立叶变换的一些对称性质 (1) 共轭对称序列与共轭反对称序列 共轭对称序列： 若：xe(n) = xer(n) + jxei(n) 则：xe*(-n) = xer(-n) - jxei(-n) 有：xer(n) = xer(-n) xei(n) = -xei(-n) 实部为偶函数 虚部为奇函数 共轭反对称序列： 若：xo(n) = xor(n) + jxoi(n) 则：-xo*(-n) = -xor(-n) + jxoi(-n) 有：xor(n) = -xor(-n) xoi(n) = xoi(-n) 实部为奇函数 虚部为偶函数 * 例：x(n)=ej?n 的对称性。 可以看出， x(n) = x*(-n) ，所以x(n)是共轭对称序列。 另外：从x(n)的实部和虚部来看： x(n)的实部：cos(?n)= cos(-?n)，为偶函数。 x(n)的虚部：sin(?n)= -sin(-?n)，