第一章第6节╱线性代数教案.docVIP

§1.6 行列式的应用----Cramer法则 含有n个未知数的n个线性方程构成的线性方程组 与二、三元线性方程组类似，它的解可以用n阶行列式表示 定理4：克拉默（cramer）法则：如果线性方程组（×）的系数行列式不等于零，即 则方程组有唯一解： 其中 证明：略（主要用行列式展开定理及其推论） 例1：解线性方程组 解：，， ， ， ，所以。 例2：设曲线通过四点，求系数。 解：把四个点的坐标带入曲线方程得线性方程组： 其系数行列式是范德蒙行列式，计算可得，而 ，， 因此，按照cramer法则得唯一解：，所以曲线方程为： 例3：用cramer法则解线性方程组： 解： ，，，， 所以 定理5：如果方程组的系数行列式，则方程组一定有解，且解是唯一的。 定理：如果线性方程组无解或有两个不同的解，则其系数行列式必为零。 线性方程组右端的常数项不全为零时，线性方程组称为非齐次线性方程组，否则，当全为零时，方程组称为齐次线性方程组。 对于齐次线性方程组 一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的零解。如果一组不全为零的数是他的解，则称为齐次线性方程组的非零解。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。 定理6：如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组只有零解。 定理：如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式。 例4：问为何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 解：由定理知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，而 由得或。不难验证，当或时方程组有解。 4