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179-新乡医学院理论课教案 新乡医学院理论课教案 基　本　内　容 备　注 综合复习2 主要内容： 一、随机向量 　　1.二维随机变量及分布函数 　　定义1 设为随机试验的样本空间，,是定义在上的随机变量，则称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量。 　　定义2 设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为的联合分布函数。 　　二维随机变量的分布函数的性质： 　　（1） ； （2） 是变量的不减函数， （3）. 　　2.二维离散型随机变量的概率分布 　　定义3 如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。 　　显然，如果是二维离散型随机变量，则均为一维离散型随机变量；反之亦成立。 　　定义4 设二维随机变量所有可能取的值为 　　，则称为的概率分布，或称为的联合分布。 　　显然，具有以下性质： 　　（1） 1,2,...）; （2） ; 　　3.二维连续型随机变量的概率分布 　　定义5 设是二维随机变量，如果存在一个非负函数，使得对于任意实数，都有 新乡医学院理论课教案 基　本　内　容 备　注 则称是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的分布密度，或称为的联合密度。 　　二维分布密度具有以下性质： 　　（1） ； 　　（2） ； 　　（3） ，其中D为XOY平面上的任意一个区域； 　　（4） 如果二维连续型随机变量的密度连续，的分布函数为，则 　　4． 边缘分布 　　定义6 设是二维随机变量，称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的概率分布为关于的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与。 　　若已知，则随机变量的概率分布为关于和Y的边缘分布分别为： 　　 　　设是的联合密度函数，则 分别是关于的边缘分布密度函数。 新乡医学院理论课教案 基　本　内　容 备　注 　　5．随机变量的独立性 　　定义7 设是二维随机变量，如果对于任意有，则称随机变量与是相互独立的。 　　定理2 设是二维离散型随机变量， ，依次是，的概率分布，则相互独立的充要条件是：对于所有可能的取值，都有 ， 即对所有的，都有 。 　　定理3 设是二维连续型随机变量，分别是联合密度函数与边缘密度函数，则相互独立的充要条件是：对任意的实数，都有 。 二、随机变量的数字特征 　　（一）数学期望 　　1．离散型 ． 　　2．连续型 ． 　　3．数学期望的性质 　　1） 设是常数，则有． 　　2） 设是随机变量，设是常数，则有． 　　3） 设，是随机变量，则有 ． 　　4） 设，是相互独立的随机变量，则有． 　　（二）常见随机变量的数学期望 新乡医学院理论课教案 基　本　内　容 备　注 　　1．随机变量服从二项分布，则 2．随机变量服从参数为的泊松分布，则 3．随机变量服从正态分布，则 （三）方差 1． 方差的概念 　　定义1 设是随机变量，存在，就称其为的方差，记为(或)，即 称为标准差，记为． 　　2． 方差的计算 　　1） = 　　2） 是离散型随机变量，分布律为；则 　　3） 是连续型随机变量，它的分布密度为，则 　　　　　　　　　　 　　3． 方差的性质 　　1）设是常数，则有； 2）设是常数，则有； 3）设，是相互独立的随机变量，则有； 4)设是相互独立的随机变量，则． 新乡医学院理论课教案 基　本　内　容 备　注 （四）大数定理和中心极限定理 1.大数定理 　　定理1 设是次独立重复试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则对于任意正整数，有 . 　　定理2 设相互独立的随机变量有相同的分布，且 ，存在，则对于任意正整数，有. 2．中心极限定理 　　定理3 设相互独立的随机变量服从同一分布，且 ，，则对于任意，随机变量的分布函数趋于标准正态分布函数，即有 　　　　 　　定理4 设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则对于任意x，恒有 　　　　　　　　　 典型例题： 新乡医学院理论课教案 基　本　内　容 备　注 　　例1 一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个不放回袋中，再任取一个，设每次取球时,各球被取到的可能性相等，以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(X,Y)的联合概率函数和联合分布函数;并求P(|X-Y|=1). 　　解 1) X,Y的所有可能取值都是1，2. P(X=1,Y=1)=0 ∵仅有一个1。 P(X=1,Y=2)=P(X=1)P(Y=2|X=1)=(1/3)×1 P(X=2,Y=1)=P(X=2)P(Y=1|X=