全等三角形中做辅助线的技巧.docVIP

做三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 由想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如图2-1，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180? （三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC） （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。 例4 如图，ABAC, ∠1=∠2，求证：AB－ACBD－CD。 二、 由和差想到的辅助线线段倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。 证明：（法一） 将DE两边延长分别交AB、AC于M、N， 在△AMN中，AM+ANMD+DE+NE;（1） 在△BDM中，MB+MDBD；（2） 在△CEN中，CN+NECE；（3） 由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE ∴AB+ACBD+DE+EC （法二：图1-2） 延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有： AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FCGE+CE（同上）（2） DG+GEDE（同上）（3） 由（1）+（2）+（3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+ACBD+DE+EC。 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC∠BAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如： 例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CFEF。 ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。 三、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图6-1：在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P为AD上任一点，求证：AB-ACPB-PC。（截长法） 解：在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中 AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边） ∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边） ∴BP-PCAB-AC 解：（补短法） 延长AC至M，使AM=AB，连接PM， 在△AB