管理统计学第7章 方差分析.ppt

第7章 方差分析 §7.1 方差分析的基本思想 方差分析是分析试验数据一种重要方法。一个复杂的事物，往往要受到许多因素的影响和制约。例如工业生产中的原材料，工艺条件，工人的技术水平等，它们的改变可能会影响产品的质量，如何通过统计数据，分析因素本身以及各因素之间的交互作用，找出对产品质量等特性指标有显著影响的那些因素，这是方差分析要解决的主要问题之一。 一、基本概念 在方差分析中，我们把所考察的试验结果，如产品的质量、数量、成本等，统称为指标，有X表示，由于试验误差的存在，故X是随机变量；称影响我们所关心的某个指标的原因为因素（或因子），常用A、B、C……来表示；称因素在试验中所处的不同状态为“水平”，因此A的m个不同水平用A1，A2，A3，…，Am来表示。 当只考虑一个因素时，称相应的方差分析为单因素方差分析；当考虑两个因素时，称相应的方差分析为双因素方差分析；当考虑更多个因素时，称相应的方差分析为多因素方差分析。由于多因素方差分析与双因素方差分析相比并无本质上的差别，因此本章仅限于讨论前两类问题。 二、基本思想 为了说明方差分析的基本思想，我们先看一个例子。 例7.1 某灯泡厂用四种不同材料的灯丝制成四批灯泡，除灯丝不同外，其他生产材料和生产工艺完全相同。今由这四批灯泡中随机地各抽取6只灯泡进行寿命试验，结果如表7-1，试根据这些数据，推断灯泡使用寿命是否与灯丝材料不同而有显著差异（取显著性水平?=0.05）？ 表7-1 从表7-1中数据可以看出，A1的平均寿命最长，A4的平均寿命最短，A2，A3的平均寿命介于其间，我们是否由此可以得出灯泡寿命与灯丝材料不同而有显著性差异的结论呢？不能，因为在灯泡制作的过程中，除了工艺外，还有许多难以控制的随机因素的影响，因此它们之间的差异可能是随机误差所造成的。要正确地回答上述问题，在统计学上可以采取显著性检验的方法来解决。 在方差分析中，为了数学上便于处理，总是假定样本取自正态总体，且各个正态总体的方差都相等。我们把每一个水平看成一个总体，设对应于因素A的m个不同水平Ai有总体xi~N(?1,?2)，即有： 这里?1=Ex1是xi的理论均值，?1是随机误差，D?1= ?2，则方差分析所要解决的问题就变成了检验假说 Ho： 如果我们能够构造一个可以用来检验（7.2）的统计量，那么问题就好解决了。怎样来构造这样的统计量呢？由于试验数据的差异主要来自两个方面：一是试验误差，二是水平的改变（即条件变差）。因此，我们必须找出全部数据的总变差QT，并将它分解为样本随机变差QE和条件变差QA（对于QT、QA、QE具体的表达式，下面的内容将逐一给出），在这个基础之上，用QE和QA构造一个统计量来检验多个正态总体的均值是否相等。这就是方差分析的基本思想。在下面的内容中我们将具体研究方差分析的方法。 §7. 2 单因素方差分析 设单因素A有m个水平A1，A2，…，Am，每个水平对应一个总体xi~N(?1,?2)，方差分析就是要研究这些水平对指标X的影响。记 称为理想总平均,?1=?1-?为第i个水平Ai的效应，显然 ，从而有数学模型： 对每个水平做独立实验，得样本，再根据样本判断各个水平对指标X的影响，即检验假设 或 。 当然，对每个水平做重复独立试验时，试验的重复次数可以是相同的，也可以是不相同的，从而就有等重复试验的方差分析和不等重复试验的方差分析。 二、单因素等重要试验的方差分析 对因素A的每个水平都做k次重复独立试验，得样本，见表7-2 （其中xij, i=1，2，…，m; j =1，2，3，…，k，表示在水平A下的第j次试验结果）。 表7-2 样本总容量n = mk。 下面我们来构造检验用的统计量，对上述假设进行检验 定理7. 1 1. 样本总平均值 2. xi的样本均值 3. 总变差 （总离差平方和） 4. 样本变差 （组内离差平方和） 5. 条件变差 （组间离差平方和） 由于 这里 ,所以 （7.4） 以除（4）式的两边，得 可以证明，当Ho为真时， 并且?A与?E相互独立。 于是，由F分布的定义，我们可以得到统计量，当Ho为真时 ? 其中