等边三角形中的全等2017.docVIP

等边三角形中的全等 第一类： 1、如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1． （1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求证：∠BPQ=60°； （3）求AD的长． 【改编】 1、如图所示，在等边三角形ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度 A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到了D，E 处，设DC与BE的交点为F。 （1）求证：△ACD≌△CBE； （【改编】当点D、E不是AB、AC中点时，图中有全等三角形吗？如果没有，请说明理由；如果有，请找出所有的全等三角形，并选择其中一对进行证明。 （2）问蜗牛在爬行过程中DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请证明你的结论。 2、在等边三角形ABC中，点DE分别在边ACBC上，⑴若AD=CE，求∠ADF的度数。⑵若∠AFB=120o，求AD=CE。 3、①感知：在等边三角形ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，若AE=CF，求证：△ACE≌△CBF ②探究：如图②在等边△ABC中，点E、F分别在BA、AC的延长线上，若AE=CF，△ACE与△CBF是否全等？如果全等，请证明，如果不全等，说明理由。 ③拓展：如图③在△ABC中，AC=BC,点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点EF分别在OA、AC的延长线上，若AE=CF，∠ ACB=50o，∠ AFB=32o，求∠ ACE的度数 4、如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．（Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长；（【改编】何时△PQB是直角三角形）（Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由， 若不变，则求出它的度数； （Ⅲ）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP的交点为M，则∠CMQ变化吗？（在图2中补充完整图形。） 5、已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点： ①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，当D点滑动时，∠AFE的大小是否变化？若不变，请求出其度数． ②如图2，过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G，当点D在BC上滑动时，有下列两个结论：①DC+CG的值为定值；②DG-CD的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明并求出其值． 第二类： 1、已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．（3）求∠AOM的度数； （4）求证：EF∥AB(5)若点G、H分别为AN、BM的中点，连接CG、CH，证明：CG=CH； （6）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，如图②所示，其他条件不变，以上结论是否成立？ 【改编】 如图是某城市的部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为“中巴”停靠点，“中巴”甲从站A出发，按照A→H→G→D→E→C→F的顺序到达F站，“中巴”乙从站B出发，按照B→F→H→E→D→C→G的顺序到达G站，若甲、乙两车同时分别从A、B站出发，在各站停靠的时间、车速均一样，（1）请分别用图中线段的和表示“中巴”甲、“中巴”乙所走的路程；（2）试问哪一辆先到指定站，并说明理由？ 2、如图，A，B，C，D，E，F，M，N是某公园里的8个独立的景点，D，E，B三个景点之间的距离相等；A，B，C三个景点距离相等．其中D，B，C在一条直线上，E，F，N，C在同一直线上，D，M，F，A也在同一条直线上．游客甲从E点出发，沿E→F→N→C→A→B→M游览，同时，游客乙从D点出发，沿D→M→F→A→C→B→N游览．若两人的速度相同且在各景点游览的时间相同，甲、乙两人谁最先游览完？请说明理由． 3、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60° ⑥CP=CQ ⑦△CPQ为等边三角形． ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO平分∠AOP ⑩CO平分∠BCD 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 4.如图，已知等边△