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关于切线的判定和性质的习题变换 山东省邹平县新世纪中学 夏桂云（256209） 在学习切线的判定和性质时，将课本上的习题进行多种变式，把现在所学习的新知识与以前所学的中线性质、中位线定理、垂径定理以及直角三角形知识联系，并且对后继学习的弦切角定理、切线长定理进行合理组合，这样做对开拓思维、提高学习兴趣、培养良好学习习惯具有理想效果。 一、互换条件结论 课本原题：如图1，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC。求证：DE是⊙O的切线。 分析：题目条件中出现了中点，容易联想到一是中线性质，二是中位线定理。 方法一：从中线考虑，连结AD、OD， ∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC， ∵D是BC的中点，∴AD垂直平分线段BC， ∴AC=BC，∠C=∠B=∠ODB，∴AC∥OD， 又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线。 方法二：从中位线考虑，连结OD， ∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴AC∥OD， 又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线。 变式一、如图1，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE是⊙O的切线。 求证：DE⊥AC 变式二、如图1，AB是⊙O的直径，DE是⊙O的切线，D为切点，BC交⊙O于D，DE⊥AC，垂足为E。求证：D是BC的中点。 变式三、如图1，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D， 过D作⊙O的切线交AC于E。求证：DE⊥AC。 变式四、如图2，以Rt△ABC的一条直角边AB为直径作圆交BC于E点，F是AC的中点。求证：EF是⊙O的切线。 方法一、利用中位线定理 连接OE，OF，∵F是AC的中点，O是AB的中点， ∴OF是△ABC的中位线∴BC∥OF，易证∠EOF=∠AOF， 又∵OE=OA，OF=OF，∴△EOF≌△AOF，∴∠OEF=∠OAF=90° ∴EF是⊙O的切线。 方法二、利用中线性质 连接AE，OE，OF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠AEC=90° 在Rt△AEC中，∵F是AC的中点，∴EF=AF，又∵OE=OA，OF=OF，∴△EOF≌△AOF， ∴∠OEF=∠OAF=90°，∴EF是⊙O的切线。 二、角动线定 课本原题：已知：如图3，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B。求证：AE与⊙O相切于点A。 分析：要判定AE是⊙O的切线，关键是证明AB⊥AE。由AB是⊙O的直径，可得 ∠C=90°，于是，∠B+∠BAC=90°。又因为∠CAE=∠B，可得∠CAE+∠BAC=90°，于是结论得证。 变式一：已知：如图4，△ADC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠D。求证：AE与⊙O相切于点A。 分析：连接BC，则∠D=∠B，题目转化为与原题相同。 变式二：当圆心O在∠D外部时，有结论AE与⊙O相切；当圆心O在∠D内部时（如图5），结论AE与⊙O相切还成立吗？为什么？ 分析：连接BC，显然，由同弧所对的圆周角相等，可得结论仍然成立。 由两种变式与原题这三种情况，可以总结出以下结论： 如果一个圆周角和以它所对的弦为一边，以这弦的一个端点为顶点且另一边不与圆相交的角相等，那么那角不是弦的一边与圆相切。 变式三：如果把上面三种情况中的结论“AE与⊙O相切于点A”变为条件，那么能得到结论∠CAE=∠B或者∠CAE=∠D吗？ 分析：这样变化就是交换了结论与条件，由AE与⊙O相切于点A得∠OAE=90°，则∠CAE+∠BAC=90°，又因AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°。 于是，∠B+∠BAC=90°，可得结论∠CAE=∠B或者∠CAE=∠D。 实质上，变式三的研究结论就是后继学习的弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。并且由变式一、二可以发现：弦切角定理的逆命题也是正确的。 三、线移量变 课本原题：MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径。求证：点A、B与MN的距离的和等于⊙O的直径。 分析：此题的图形有三类： 1、MN与AB斜交（如图6）时，AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为E、F，MN切⊙O于C。连接OC，则OC⊥MN，有AE∥OC∥BF，又∵OA=OB，∴EC=FC。 于是，OC为直角梯形AEFB的中位线，所以，2OC=AE+BF。即AE+BF=AB，结论得证。 2、MN与AB垂直（如图7）时，点A到MN的距离为0，点B到MN的距离为AB，两距离之和为直径AB。 3、MN与AB平行（如图8）时，四边形AEFB是矩形， 四边形AECO是正方形，易证AE+BF=AB。 变式一、对上述第一种情况（图6），直线MN向上平移，与⊙O交于C、D两点，能得什么结论呢？ 此问需分三种情况讨论： （1）、直径AB与线段CD在圆内不相交时（如图9）作OH⊥CD垂足为H。易证OH为直角梯形AEFB的中位线，得OH=（AE+BF