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精品论文 参考文献 含参数的不等式恒成立问题的探究 黄　静 (如皋市第一中学 江苏 如皋 226500) 含参数的不等式恒成立问题是高考热点题型之一.此类问题往往涉及面广，题目难度大，综合性强，解决此类问题所需的数学思想、方法较多,是考查考生综合能力的一类重要问题,备受老师的青睐.现将其常用解题策略归纳、解析如下： 一. 最值法 很多的恒成立问题都可以从“比最大值还大，比最小值还小”的角度来理解，故往往在求相应部分的最大值或者最小值之后，问题也就迎刃而解了。举例如下： 1.直接转化 例1 已知函数在区间[-1,1]上是增函数,求实数的取值范围. 分析 可应用导数将本题转化成不等式恒成立问题. 解 由在区间[-1,1]上是增函数等价为对恒成立. 即对恒成立. 记要使恒成立.只需的最大值小于等于0，故问题转化成求在区间上的最大值，二次函数的图象开口向上,它在区间上的最大值只能是或,故只需与同时小于等于0. 由得故的取值范围是 评注 本题属于导数背景下隐含的不等式恒成立问题,将不等式恒成立问题直接转化成函数最值问题. 例2 对于问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”甲、乙、丙提出了各自的解题思路. 甲说: “可视为变量, 为常量来分析” 乙说: “不等式两边同时除以，再做分析” 丙说：“把字母单独放在一边，再作分析” 参考上述思路，或自己的其他解法，求出实数的取值范围是______________ 2.分离参数转化 分析 按照丙的解题思路,本题解题步骤归纳如下:①将原不等式分离参数得;②求的最小值;③由得的范围. 解一 分离出参数得： 令，表示点与点（0，0）所在直线的斜率 由数形结合易得的取值范围为 即原题等价为:不等式对于恒成立.令， 而所以为所求. 评注 1.解一中将参数分离到不等式右边后将整体视作函数变量.转化成研究关于的函数的最值问题.对于例1是否可以考虑用分离参数法来转化呢?事实证明如要分离出参数,不等式两边要同时除以.此时就要对的范围进行讨论了.所以对于例1还是用直接转化求最值好.两种转化后都是转变为求函数的最值,两种转化方各有千秋,要根据不同情境选择适当的方法. 2.解决不等式恒成立问题将不等式分离参数后转化成确定函数在确定区间上的最值问题,其一般类型有: (1) 恒成立 (2) 恒成立 3.如果分离参数后的函数不存在相应的最值,我们利用函数的确界解决问题函数，()的上确界为,记作 下确界为,记作. 于是,有如下结论: (1) 无最大值,而有上确界,那么恒成立 (2) 无最小值,而有下确界,那么恒成立 二.变换主元法 例2按甲的思路,适当的变换主元,即把习惯上的主元变量与参数的地位交换一下,这样往往问题将次、简化. 解二 不等式对于恒成立. 令， ;易知是关于的二次函数. 关于的二次函数的对称轴.所以函数在[2,3]上单调递增 则 对于恒成立 即问题等价为对恒成立 即等价为对恒成立，令 易求的最小值为-1.所以满足条件的的范围是 . 评注 不等式中出现三个字母、、,把哪个看作是变量,哪个是参数是关键.解二中首先将视作变量利用不等式恒成立最值法将问题转化成关于和的不等式恒成立.再将时作变量求出参数的范围. 三.数形结合法 例3 当时,不等式恒成立,求的取值范围. 分析 构造两个函数: ,.函数是二次函数,图象是抛物线.函数的图象可以看作是由对数函数图象向左平移一个单位得到,故可以通过图象求解. 解 要使对一切，恒成立,必须保证,且当时的函数值大于的函数值.即有且,故的取值范围是 评注 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： 1）函数图象恒在函数图象上方； 2）函数图象恒在函数图象下上方。 综上,处理不等式恒成立问题的常见方法有:最值法、变换主元法、数形结合法等。但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结. 收稿日期：2009-12-29