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三．解答题 1.（2009年嘉兴中考）如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，BD与AE、AF分别相交于G、H． （1）求证：△ABE∽△ADF； （2）若，求证：四边形ABCD是菱形． 【解析】（1）由∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE=∠ADF． 可得△ABE∽△ADF； （2）AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，从而∠AGB=∠AHD．可证△ABG≌△ADH．即．∴四边形ABCD是菱形． 【解答】（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF． ∴△ABE∽△ADF （2）∵△ABE∽△ADF， ∴∠BAG=∠DAH． ∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG， 从而∠AGB=∠AHD． ∴△ABG≌△ADH． ∴． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． （2009年遂宁中考）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点. ⑴求证：EF+GH=5cm； ⑵求当∠APD=90o时，的值． 【解析】由于E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO的中点，则EF+GH=BP+PC=BC，得EF+GH=5cm； 【解答】⑴∵矩形ABCD，AD=10cm， ∴BC=AD=10cm ∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO的中点， ∴EF+GH=BP+PC=BC， ∴EF+GH=5cm． ⑵∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90o，又∵∠APD=90o， ∴由勾股定理得AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2 =BP2+(BC-BP)2+2AB2=BP2+(10-BP)2+32, 即100=2BP2-20BP+100+32 解得BP=2或8(cm) 当BP=2时,PC=8,EF=1,GH=4,这时 当BP=8时,PC=2,EF=4,GH=1,这时 ∴的值为 或4． 2009 年佛山市）如图，在正方形中，．若，求的长． 【关键词】正方形知识的综合应用 【答案】解（略）． 注：证明，给5分；根据三角形全等得，给1分． 4．（2009 年佛山市）（1）列式：与的差不小于； （2）若（1）中的（单位：）是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加， 则正方形的面积至少增加多少？ 【关键词】正方形的性质，及不等式综合应用 【答案】（1）；（化为扣1分）（2）面积增加．（列式2分，整理1分，不等关系1分） 答：面积至少增加． 5.（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E. （1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明. （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由. 【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定 【答案】（1）△AED≌△CEB′ 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=B′C=AD，∠B=∠B′=∠D 又∠B′EC=∠DEA ∴△AED≌△CEB′ （2）延长HP交AB于M，则PM⊥AB ∵∠1=∠2，PG⊥AB′ ∴PM=PG ∵CD∥AB ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴AE=CH=8-3=5 在Rt△ADE中，DE=3 AD==4 ∵PH+PM=AD ∴PG+PH=AD=4. 6. (2009年达州如图7，在△ABC中，AB＝2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状，并说明理由. BCFD是菱形，理由如下： ∵点D、点E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥＝ 12BC 又∵△CFE是由△ADE旋转而得 ∴DE=EF ∴DF∥＝ BC ∴四边形BCFD是平行四边形 又∵AB=2BC，且点D为AB的中点 ∴BD=BC ∴BCFD是菱形 7．（2009年中山）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推． （1）求矩形的面积； （2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积． 【关键词】矩形、平行四边形有关的计算 【答案】（1）在中， ， ． （2）矩形，对角线相交于点， ． 四边形是平行四边形， ， ． 又， ， ， 同理，， 第6个平行四边形的面积为． 8．（2009肇庆）如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，． （1）求证：△ABD是正三角形； （2）求 AC的长（结果可保留根号）． 【关键词】菱形 【答案】 （1）证明