授课章节：《数学分析》概述.docVIP

第十章 定积分的应用 (14学时) §1 平面图形的面积 教学目的要求: 能熟练的将各种形式表示的曲线所围成的图形抽象成为不定积分，并计算出它们的面积. 教学重点难点: 重点是计算由各种形式表示的曲线所围成的图形的面积.难点是参数方程和极坐标方程表示的曲线所围成的图形的面积的计算. 学时安排: 2学时 教学过程: 一、积分的几何意义 我们讲过，若且，则定积分表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b和x轴所围成的曲边梯形的面积。当0时，定积分表示的是负面积，即表示的是f在[a,b]上的正负面积代数和。例如。若计算sinx在[0，]上的面积，则变为。 二、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b]内交点，设为，且，则。所以此时求f(x)和g(x)在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求，所围的面积S。 例2、求、在上所围图形的面积。 例3、已知通过点(1,2)与有个交点，又a0，求与所围的面积S，又问a,b为何值时，S取最小值？ 例4、求抛物线与直线所围成的图形的面积。 例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l，底面是长轴为a，短轴为b的椭圆，问油灌中油面高为h时，油量是多少？（已知油的密度为） 三、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式： （），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函数，且且，，那么由，x轴及直线x＝a，x＝b所围图形的面积S的公式为。（） 例1、求旋轮线：（a0）一个拱与x轴所围的图形的面积。 例2、求椭圆（a0，b0）的面积S。 四、极坐标下的面积公式 设曲线的极坐标方程是：，，，则由曲线，射线及所围的扇形面积S等于。 例1、求双纽线所围图形面积S。 例2、求由，，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S。 例3、求三叶形成曲线（a0）所围图形面积。 §2 由平行截面面积求体积 教学目的要求: 能熟练计算平行截面面积为已知的立体的体积和旋转体的体积. 教学重点难点: 重点是用定积分求体积. 难点把具体问题抽象成定积分. 学时安排: 2学时 教学过程: 一般体积公式： 设一几何体夹在x＝a和x＝b（ab）这两个平行平面之间，用垂直于X轴的平面去截此几何体，设载面与X轴交点为（x，0），可得的截面面积为S（x），如果S(x)是[a,b]上的（R）可积函数，则该几何体的体积V等于：。 例1、求底面积为S，高为h的斜柱体的体积V。例2、求底面积为S，高为h的圆锥体的体积V。 例3、求由椭球面所围的几何体体积。(a,b,c0) §3平面曲线的弧长与曲率 教学目的要求: 能熟练计算平面曲线的弧长. 教学重点难点: 重点是用定积分平面曲线的弧长. 难点弧长公式的证明. 学时安排: 2学时 教学过程: 一、平面曲线的弧长 1、先建立曲线的长度（弧长）的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。 设平面曲线C由参数方程 （）给出，设是[]的一个划分[]，即，它们在曲线C上所对应的点为，，…，。从端点开始用线段一次连接这些分点，，…，得到曲线的一条内接折线，用来表示的长度，则内接折线总长度为 曲线C的弧长S定义为内接折线的总长在时的极限： 如果S存在且为有限，则称C为可求长曲线。 2、弧长公式 设曲线C： （），且，在[]上可微且导数，在[]上可积，曲线C在[]无自交点，则曲线C的弧长S为： 注：其它形式的弧长公式 （1）设在[a,b]上可微且导数可积，则曲线（a≤x≤b）的弧长S为： （2）若曲线极坐标方程，，则当在[]上可微，且可积时， （3）空间曲线 （），弧长S为 其中x(t)，y(t)，z(t)在[]上可微，导数，，在[]上可积且曲线C在 []上无自交点。 例1、求圆周，，的弧长S。 例2、求抛物线，的弧长S。例3、求椭圆（ba0）的弧长S。 3、弧长的微分 设C： （）是光滑曲线（，在[]连续且＋）；且无自交点。若把公式中的积分上限改为t，就得到曲线C，由端点到动点的一段弧长。 由上限函数的可微性知存在， 二、曲率 1、平面曲线的曲率 曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长有关，并且曲率与成正比，与成反比。即一般曲线的弯曲程度可用，其中：曲线段的平均变化率；：曲线段上切线方向的角度；：曲线段的弧长。 例 半径为R的圆：。 对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？ ，称为曲线在A点的曲率，即 2、曲率的计算 记二阶可