A15 专题十五 数形结合.docVIP

专题十三 数形结合的思想 【考点聚焦】 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 【自我检测】 1 方程sin(x–)=x的实数解的个数是( B ) A 2 B 3 C 4 D 5 2. （2005福建）设的最小值是 （ C ） A． B． C．－3 D． 3 已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为( ) A α＜a＜b＜β B α＜a＜β＜b C a＜α＜b＜β D a＜α＜β＜b 4. ( 2006年湖南）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( B ) A.[] B.[] C.[ D. 【重点难点热点】 问题1 利用函数的图象、方程的图形数形结合 例1．在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f（）＞恒成立的函数的个数是 （ B ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 用图像法，只有上凸函数才满足题意，即只有y=log2x才满足上式，故选B． 例2 已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）． （1）求函数f（x）的表达式； （2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解． 【分析】 用数形结合思想求f（x）－f（a）=0解的个数． 【解】 （1）由已知，设f1（x）=bx2，由f1（x）=1，得b=1．∴f1（x）=x2． 设f2（x）=（k＞0），则其图象与直线y=x的交点分别为A（k，k），B（－k，－k），由|AB|=8，得k=8， ∴f2（x）=，故f（x）=x2+． （2）由f（x）=f（a），得x2+=a2+， 即=－x2+a2+． 在同一坐标系内作出f2（x）=和f3（x）=－x2+a2+的大致图象（如图所示），其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3（x）的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线．f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解． 又∵f2（2）=4，f3（2）=－4+a2+，当a＞3时， f3（2）－f2（2）=a2+－8＞0， ∴当a＞3时，在f3（x）第一象限的图象上存在一点（2，f3（2））在f2（x）图象的上方． ∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解． 故方程f（x）=f（a）有三个实数解． 【评析】 用数形结合思想，可把一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题． 演变1：函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2］的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围 。(1k3) 点拨与提示：f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［0,2］= 问题2 利用方程的图形数形结合 例3： 分析： ，选D 演变1. 分析：构造直线的截距的方法来求之。 截距。 问题3 利用几何意义转化、构造 例4．已知α、β、γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证：tanα+tanβ+ tanγ≥。 命题意图：本题主要考查三角——几何——代数间的转化，以及代数不等式的证明。 证明：由已知条件作长方体ABCD—A1B1C1D1，如图，使∠C1AD=α，∠C1AB=β，∠C1AA1=γ，设AD=a，AB=b，AA1=c，则：tanα=，tanβ=，tanγ= tanα+tanβ+tanγ=≥ ≥ 故tanα+tanβ+tanγ≥ 点评：(1)还可将已知条件改为sin2α+sin2β+sin2γ=2； (2)运用此模型，还可设α、β、γ分别为AC1与C1B、C1A1、C1D所成的角，则cos2α +cos2β+cos2γ=2(或sin2α+sin2β+sin2γ=1)。 例5．求函数的最大值。 解：由定义知1-x2≥0且2+x≠0 ∴ -1≤x≤1，故可设x=cos