数值计算方法第4章-.ppt

§4.1 代数多项式插值 1 代数多项式插值的概念: 当给出了函数f(x)的n+1个点后,构造一个多项式P(x),满足如下两个条件: (1) p(x)是一个不超过n次的多项式; (2) 在给定的点xi(i=0,1,…,n)上与f(xi)取相同的值,即p(xi)=f(xi) (i=0,1,…,n)。 通常称p(x)为f(x)的插值函数,点xi为插值节点,f(x)为被插函数，条件（1）和条件（2）为插值条件。 2 代数多项式插值的存在性和唯一性 3 代数插值多项式的构造- Lagrange插值 (1) 线性Lagrange插值 给定f(x)的2点函数表，求一个f(x)的近似函数经过这两个已知点。 线性Lagrange代数多项式插值的基函数图形: (2) 二次Lagrange多项式插值 给定f(x)的3点函数表,求f(x)的近似函数. 二次Lagrange代数多项式插值的基函数图形: 4 例题1 5 相关的Matlab程序 作业： 1 已知函数表如下： §4.2 多项式插值的近一步研究 为了理论分析的方便，引入记号 ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn) 它是一个n+1次多项式，并且 ωn+1’(xk)=(xk-x0)(xk-x1)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(x-xn) 则Lagrange插值多项式为 §4.3 Hermite插值和分段插值 例：对函数f(x)=ln(x),给定 f(1)=0 f(2)=0.693147 f’(1)=1 f’(2)=0.5 试用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f(1.5)的近似值。 拟合问题VS逼近问题 1 拟合问题 假设已获得某函数关系的成批离散实验数据或观测数据，拟合问题就是为这样的大量离散数据建立对应的、近似的连续模型的一种应用基础问题。所建立的模型的基本形式是一条曲线（一元曲线），称为拟合曲线或经验公式。 它不要求目标模型（即拟合曲线）精确地过已知的各离散点，只要求目标模型符合已知离散点分布的总体轮廓，并与已知离散点的误差按某种意义尽量地小。 通常采用“误差的平方和最小”的原则，即最小二乘拟合问题。 2 逼近问题 一般是指“连续函数逼近问题”，即对连续函数如f∈C[a,b],研究用有限维空间中的简单函数如φ来近似（逼近）连续函数。 通常研究两种基本的逼近问题： 最佳平方逼近 最佳一致逼近 §4.5 曲线拟合的（线性）最小二乘法 例：已知实验数据如下，试求其拟合曲线。 2、最佳平方逼近的解法/法方程 作业：设测得某过程的下列离散数据，试建立形如y=a+bx3的拟合曲线 §4.3 分段线性插值 高次插值评述 从插值余项角度分析 为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个数，这 从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因 有三个： ?插值余项与节点的分布有关； ?余项公式成立的前提条件是 有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立； ?随着节点个数的增加， 可能会增大。 随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。 注意下面图中 曲线的变化情况！ 例3：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，端点附近变化 越大，称为Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 2、从稳定性角度分析 设 由 和 构造出的插值多项式分别记为: 和 这说明插值多项式的扰动是由节点函数值扰动引起的 解决方法 分段插值 --分段线性插值、分段Hermite插值、三次样条插值 分段插值的构造方法 将插值区间划分为若干个小区间（通常取等距划分） 采用低次插值 在区间 上得到分段函数 分段线性 插值基函数 (1)、分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x): 几何意义 分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了原函数的光滑性。 设给定节点 及相应的函数值 ， 在[a,b]上存在， 是在[a,b]上由数据 构成的分段线性插值函数，则 其中